Polynome und Polynomfunktionen, Abbildung

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4 (Polynome und Polynomfunktionen). Wir betrachten die folgende Abbildung:
\( \begin{array}{l} L: \mathbb{F}_{2}[T]_{5} \longrightarrow \mathbb{F}_{2} \mathbb{F}_{2}, \quad p \mapsto f_{p} \\ \text { mit } f_{p}: \mathbb{F}_{2} \longrightarrow \mathbb{F}_{2}, x \mapsto p(x):=\sum \limits_{k=0}^{5} p_{k} x^{k}, \text { für } p=\sum \limits_{k=0}^{5} p_{k} T^{k} \end{array} \)
Des Weiteren seien \( \mathscr{A}=\left(1, T, T^{2}, T^{3}, T^{4}, T^{5}\right) \) eine Basis von \( \mathbb{F}_{2}[T]_{5} \) und \( \mathscr{B}=\left(\delta_{0}, \delta_{1}\right) \) eine Basis von \( \mathbb{F}_{2}^{\mathrm{F}_{2}} ; \) dabei ist \( \delta_{i}(j):=\delta_{i, j} \) für alle \( i, j \in \mathbb{F}_{2} \).
(a) Zeigen Sie, dass \( L \) linear ist.
(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{A}}(L) \) von \( L \).
(c) Bestimmen Sie Basen von Kern \( L \) und Bild \( L, \) sowie Rang \( L \).
(d) Finden Sie Basen \( \mathscr{A}^{\prime} \) bzw. \( \mathscr{B}^{\prime} \) der Räume \( \mathbb{F}_{2}[T]_{5} \) bzw. \( \mathbb{F}_{2}^{\mathrm{F}_{2}} \) so, dass die Darstellungsmatrix \( M_{\mathscr{B}^{\prime}}^{\mathscr{\alpha}^{\prime}}(L) \) von \( L \) bzgl. dieser Basen die Normgestalt aus (4.18) besitzt. Geben Sie zudem die Transformationsmatrizen der Basiswechsel an.

könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Für die Linearität kannst du erst mal zeigen:

Für alle p,q ∈ \( \mathbb{F}_{2}[T]_{5}\) gilt L(p+q)=L(p)+L(q).

Etwa so: Seien p,q ∈ \( \mathbb{F}_{2}[T]_{5}\) dann gibt es

für k=0 bis 5  p_k und q_k aus F₂ mit

$$p=\sum \limits_{k=0}^{5} p_{k} T^{k} und  q=\sum \limits_{k=0}^{5} q_{k} T^{k}$$

also gilt nach Def. von + im Polynomring $$p+q=\sum \limits_{k=0}^{5} (p_{k}+q_{k}) T^{k}$$

und es ist L(p+q) = f_p+q =und für alle x ∈ F₂ gilt

f_p+q(x) = \( \sum \limits_{k=0}^{5} (p_{k}+q_{k}) x^{k} \)

= \( \sum \limits_{k=0}^{5} (p_{k}x^k +q_{k}x^{k}) \)

= \( \sum \limits_{k=0}^{5} p_{k}x^k + \sum \limits_{k=0}^{5}  q_{k}x^{k} \)

= f_p(x) + f_q(x) .

Die Abbildungen f_p+q und f_p+f_q stimmen also für alle x des

Definitionsbereiches überein, sind somit gleich. Also ist L(p+q)=L(p)+L(q).

So ähnlich zeigst du auch die Homogenität.

Comments

danke
Es hat mir mega weiter geholfen :D