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$$ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} $$

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Kannst du noch mehr dazu beitragen als die Aufgabe zu notieren?

"Bestimmen Sie: " lautet die Aufgabe.


Ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, indem ich die Wurzel zu einer 1/2 potenz umforme usw. aber ich kam nicht auf das richtige Ergebnis. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Solche Umformungen führen meiner Meinung nach nicht weiter. Vielleicht hilft dies: $$ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\dfrac{2^{n}+4^{n}}{4^{n-1}}}$$

Wenn schon, dann \(\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\dfrac{2^{n}+4^{n}}{4^{n-2}}}\)

"Wenn schon dann..."

Sehe ich nicht so.

2 Antworten

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Beste Antwort

$$\frac{\sqrt{2^n + 4^n }}{2^{n-1}}=\frac{\sqrt{2^n*(1+2^n)}}{2^{n-1}} =2*\frac{\sqrt{2^n*(1+2^n)}}{2^{n}} =2*\sqrt{\frac{2^n*(1+2^n)}{2^{n}*2^{n}}}$$
Kürzen gibt
$$=2*\sqrt{\frac{(1+2^n)}{2^{n}}}$$
Geht also gegen 2.

Avatar von 289 k 🚀
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Schreibe \(\dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} \) als \(\dfrac{\sqrt{4^n}\sqrt{0,5^{n}+1}}{2^{n-1}} \)=\(\dfrac{2^n\sqrt{0,5^{n}+1}}{2^{n-1}} \)

Avatar von 55 k 🚀

Vielen Dank. Leider verstehe ich nicht, wie ich mit diesem Resultat weiter arbeiten kann.


ich habe im Zähler 2n und im Nenner 2n-1.


Lässt sich das irgendwie kürzen?

Natürliuch lässt sich das kürzen!

Das sind in Zähler und Nenner jede Menge Faktoren "2". (Im Zähler ist es einer mehr.)

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