Ableitungen von f(x)=(5x²+6x+1) / (5x²-4x-1) , aber wie

Question

Aufgabe:  f´(x)= (10x+6) / (5x²-4x-1) - (50x³+40x²-14x-4) / (25x^4-40x³+6x²+1)

Problem/Ansatz: An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Zum Test - Die Funktion war: f(x)=(5x²+6x+1) / (5x²-4x-1) -> ich finde die Bruchstriche nicht ;) Davon soll ich die 1. und 2. Ableitung machen. Gern halbwegs mit Rechenweg?

Danke vorab

Answer 1

Hallo,

Zuerst vereinfachen:

5x²+6x+1 =(5x+1)(x+1)

(5x²-4x-1)= (5x+1)(x-1)

-->Kürzen von 5x+1

-----> y=(x+1)/(x-1) ist via Quotientenregel abzuleiten

y'= (u' v -u v') /v^2 allgemein

u=x+1  ; v=x-1

u'= 1    :v'= 1

-------> y'= (1*(x-1) - ((x+1) *1)/(x-1)^2

y' = (x-1 - (x-1)/(x-1)^2

y '= (-2)/((x-1)^2) Lösung

2. Ableitung:

y' = (-2) *((x-1)^(-2)) ->Kettenregel

y''= (-2) *(-2) ((x-1)^(-3)) *1

y''= 4 (x-1)^(-3)

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Vielen Dank für die fixe Antwort! Das sieht wesentlich leichter aus, DANKE!

Answer 2

Du hast dir die Aufgabe selbst verschlimmert, indem du (5x²-4x-1)² ausmultipliziert hast

Lasse diesen Term so stehen!

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Danke für die Rückmeldung ;-)

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde die Funktion zunächst etwas umformen$$f(x)=\frac{5x^2+6x+1}{5x^2-4x-1}=\frac{5x^2\;\overbrace{+5x+x}^{=+6x}\;+1}{5x^2\,\underbrace{-5x+x}_{=-4x}\,-1}=\frac{(5x^2+5x)+(x+1)}{(5x^2-5x)+(x-1)}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{5x(x+1)+1\cdot(x+1)}{5x(x-1)+1\cdot(x-1)}=\frac{(5x+1)\cdot(x+1)}{(5x+1)\cdot(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{x\;\overbrace{-1+2}^{=+1}}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$$

Nun ist das Ableiten kein Problem mehr:$$f'(x)=\left(1+\frac{2}{x-1}\right)'=\left(2(x-1)^{-1}\right)'=-2(x-1)^{-2}=-\frac{2}{(x-1)^2}$$$$f''(x)=\left(-2(x-1)^{-2}\right)'=4(x-1)^{-3}=\frac{4}{(x-1)^3}$$

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Vielen Dank für die ausführliche und fixe Antwort. Was mir noch nicht einleuchtet bei Deiner Erklärung ist die 2. Zeile. Es wird ausgeklammert und dann wieder multipliziert? Aber weshalb verschwindet dann ein x und wird das - zum + im Nenner?

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Ich habe im Zähler den Faktor \((x+1)\) und im Nenner den Faktor \((x-1)\) ausgeklammert.

$$5x\cdot\boxed{(x+1)}+1\cdot\boxed{(x+1)}=(5x+1)\cdot\boxed{(x+1)}$$$$5x\cdot\boxed{(x-1)}+1\cdot\boxed{(x-1)}=(5x+1)\cdot\boxed{(x-1)}$$

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Ich verstehe, danke für die Erläuterung!

Answer 4

Die Funktion war: f(x)=(5x²+6x+1) / (5x²-4x-1)

Am besten so lange vereinfachen bis der Grad des Zählers kleiner ist, als der des Nenners. Reines Bruchrechnen oder auch eine Polynomdivision mit Rest erleichtert den Einstieg.

Die Funktion war: f(x)=((5x² -4x - 1) +(10x+2)) / (5x²-4x-1)

Die Funktion war: f(x)=1 + (10x+2 ) / (5x²-4x-1)

Die Funktion war: f(x)=1 + (2(5x+1) ) / (5x²-4x-1)

Nun Nenner auch noch faktorisieren, und einen Faktor wegkürzen, usw.

Dann kanst du sogar mit "hoch Minus Eins" rechnen, wenn du die Quotientenregel umgehen willst.

Irgendwo im Verlauf der Rechnung einfach noch erwähnen, wo die Funktion f eine (nicht mehr erkennbare, da hebbare) Definitionslücke hat.