Affiner Unterraum eines Vektorraums

Question

Aufgabe

Für Teilmengen T eines K-Vektorraums V betrachten wir die beiden Eigenschaften

(i) sind x,y verschiedene Elemente von T, so liegt ihre Verbindungsgerade in T

(ii) ist G eine Teilmenge von T und x ein Element von T, so liegt auch die zu G Parallele Gerade durch x in T

Zeigen Sie:

a) Jeder affine Unterraum von T erfüllt beide Eigenschaften

b) Ist ∅ ≠ T⊂ V und erfüllt T beide Eigenschaften, so ist T ein affiner Unterraum

Kann mir vielleicht jemand hierbei helfen oder zumindest den Ansatz verraten? Danke schonmal

Comments

muss es bei (ii) nicht heißen

(ii) ist G eine Gerade von T

statt

(ii) ist G eine Teilmenge von T

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Ja tut mir leid, G soll eine Gerade sein...

Answer 1

Hallo,

sei Also T=p+U mit einem Untervektorraum von V; dann gilt:

(i) Sei x=p+u, y=p+v in T, dann ist die Verbindungsgerade:

$$G: \quad x+s(y-x)=p+(u+s(v-u)), s \in K$$

Weil u+s(v-u) wieder in U liegt, liegen alle Punkte von G in T.

(ii) Sei G die Gerade durch y,z aus T:

$$G: \quad y+s(z-y)=p+v+s(p+w-p-v)s, \in K$$

Dann ist für x=p+u in T die parallele Gerade gegeben durch

$$G': \quad p+u+s(w-v), s \in K$$

und liegt ebenfalls in T.

Umgekehrt sei \(p \in T\) und T erfüllt (i9 und (ii). Dann definiert man

$$U:=\{u \in V \mid p+u \in T\}$$

und zeigt, dass dies ein Unterraum ist. Sei also \(u,v \in U\). Dann gilt nach (i):

$$p \in T, p+u \in T \Rightarrow p+su \in T \text{  für } s \in K$$

Also liegt insbesondere su in U. Mit (ii) folgt.
$$(G: p+su,s \in K) \sube T, p+v \in T \Rightarrow (G':p+v+su,s \in K) \sube T$$

Also liegt insbesondere u+v in U.

Gruß Mathhilf