Aloha :)
zu a) Du kannst 3 Geradengleichungen aufstellen und die Punkte bestimmen, bei denen diese Geraden die \(x_1x_2\)-Ebene durchstoßen, also bei denen \(x_3=0\) gilt:
$$A'_1\colon\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix}\implies s=2\implies A'_1(4|3|0)$$$$A'_2\colon\begin{pmatrix}5\\3\\6\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix}\implies s=3\implies\quad A'_2(8|6|0)$$$$A'_3\colon\begin{pmatrix}-1\\2\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix}\implies s=2,5\implies A'_3(1,5|4,5|0)$$
zu b) Hier ist nicht der Richtungsvektor der Geraden gegeben, sondern ein zweiter Punkt. Du musst zuerst die Gerade durch \(S\) und \(A_x\) bestimmen. Dann musst du die Punkte bestimmen, bei denen diese Geraden die \(x_1x_3\)-Ebene durchstoßen, also bei denen \(x_2=0\) gilt:
$$A''_1\colon\begin{pmatrix}-1\\8\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2 -(-1)\\1 -8\\4 -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\8\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\-7\\1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix}$$$$\implies s=\frac{8}{7}\implies A''_1\left(\frac{17}{7}\bigg|0\bigg|\frac{29}{7}\right)$$
$$A''_2\colon\begin{pmatrix}-1\\8\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}5 -(-1)\\3 -8\\6 -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\8\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}6\\-5\\3\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix}$$$$\implies s=\frac{8}{5}\implies A''_2\left(\frac{43}{5}\bigg|0\bigg|\frac{39}{5}\right)$$
$$A''_3\colon\begin{pmatrix}-1\\8\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1 -(-1)\\2 -8\\5 -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\8\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\-6\\2\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix}$$$$\implies s=\frac{4}{3}\implies A''_2\left(-1\bigg|0\bigg|\frac{17}{3}\right)$$
