Radien von Inkreisen und Höhe

Question

Die Höhe h auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ABC teilt dies in die beiden rechtwinkligen Dreiecke AHC und HBC. r₁ sei der Radius des Inkreises von ABC, r₂ sei der Radius des Inkreises von AHC und r₃ sei der Radius des Inkreises von HBC. Drücken Sie h durch r₁, r₂ und r₃ aus.

Answer 1

Hallo Roland,

ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe.

Mein Vorschlag mit r1:

Die Fläche des Dreiecks ABC lässt sich in die Dreiecke AMB, BMC und CMB aufteilen.

\(A=\frac{c\cdot r}{2}+\frac{a\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}=\frac{r(a+b+c)}{2}\\A=\frac{c\cdot h}{2}\\\Rightarrow r(a+b+c)=c\cdot h\\h=\frac{r(a+b+c)}{c}\)

Grüße, Silvia

Comments

Du hast den Punkt H nicht benannt und die Inkreise der Dreiecke AHC und HBC nicht gezeichnet oder ihre Radien berechnet

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Ja, denn ich wollte erst einmal von dir wissen, ob ich auf dem richtigen Weg bin.

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Das kann ich nicht beurteilen, da dein Weg ja schon früh abbricht. Alles, was du schreibst, ist aber richtig.

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Dann mache ich auf dem Wege einfach mal weiter.

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Ja - das solltest du tun.

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 \(h=r_1+r_2+r_3\), aber ich kann dir noch nicht sagen, warum ;-)

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Das Ergebnis ist richtig. Der Beweis ist nicht einfach.

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Das merke ich! Aber noch gebe ich nicht auf...

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So, hier die Kurzfassung meiner seitenlangen Versuche:

\(h=\frac{ab}{c}\\r_1=\frac{ab}{a+b+c}\quad r_2=\frac{b}{c}\cdot r_1\quad r_3=\frac{a}{c}\cdot r_1\)

Da ich das Ziel kenne, habe ich bei r2 und r3    \(r_1=\frac{ab}{a+b+c}\) eingesetzt und

addiert:

\(\frac{abc}{c\cdot (a+b+c)}+\frac{ab^2}{c\cdot(a+b+c)}+\frac{a^2b}{c(a+b+c)}=\\ \frac{abc+ab^2+a^2b}{c(a+b+c)}=\frac{ab(a+b+c)}{c(a+b+c)}=\frac{ab}{c}=h\)