Zeigen Siemit vollständiger Induktion, dass für allen n∈N gilt:

Question

Aufgabe:

Zeigen Siemit vollständiger Induktion, dass für allen n∈N gilt:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1} \)

Ergebnis: 1 - 1/n+2

Problem/Ansatz:

Im Induktionsschritt bzw. beim gleichsetzen komme ich durcheinander.

Ich komme bis zu dem Teil:

= 1 - 1/(n+1)  +  1/(n+1)*(n+2)   | linken Bruch gleichnahmig machen, d.h. beide Nenner auf (n+2) erweitern

= 1 - 1 bzw. n * (n+2)/(n+1)*(n+2)  +  1/(n+1)*(n+2) | beide Brüche auf einen Hauptnenner bringen

= 1 - 1 bzw. n * (n+2)/(n+1)*(n+2)   | Zähler zusammenrechnen

= 1 - n^2 + 2n+1/(n+1)*(n+2)   | 1. binomische Formel im linken Bruch bzw. Zähler

= 1 - (n+1)^2 + 1/(n+1)*(n+2)   | (n+1) abkürzen

= 1 - (n+1) + 1/(n+2) ????????

Answer 1

Schon die erste Zeile ist falsch:

1 - 1/(n+1)  +  1/(n+1)*(n+2)  | linken Bruch gleichnamig machen, d.h. beide Nenner auf (n+2) erweitern

muss heißen:

1 - 1/(n+1)  +  1/((n+1)*(n+2))  | die beiden Brüche gleichnamig machen, d.h. beide auf den Hauptnenner  (n+1)(n+2) erweitern.

Dann geht s so weiter

1 - (n+2)/((n+1)(n+2))  +  1/((n+1)*(n+2))  

Comments

Ich habe sehr viel herumprobiert, aber finde nicht den richtigen Ansatz. Wie geht es dann weiter ?:

1 - (n+2)/((n+1)(n+2))  +  1/((n+1)*(n+2))

Answer 2

Hallo :-)

Bitte schreibe deine Rechnungen nicht so auf! Das kann man sehr schlecht lesen. Schreibe einfach deine Rechnungen über eine Gleichungskette hin. Wenn ich dich hier richtig verstehe, setzt du oben nach deiner ersten Gleichheit die Induktionsvoraussetzung ein. Dann hast du also

\(\begin{aligned}&\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}\\[15pt]&=\left(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\[15pt]&\stackrel{(IV)}{=}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\[15pt]&=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\[15pt]&=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}\end{aligned} \)

-----------Zwischenrechnung Anfang-----------------------

\(n(n+2)+1=n^2+2n+1=(n+1)^2\)

-----------Zwischenrechnung Ende-----------------------

\(\begin{aligned}&=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}\\[15pt]&=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}\\[15pt]&=\frac{n+1}{n+2}\\[15pt]&=\frac{n+2-1}{n+2}=\frac{n+2}{n+2}+\frac{-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\end{aligned}\)

Comments

Danke sehr, werde ich beim nächsten Mal so machen ! :-)

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Ich habe jede Zeile verstanden, bis auf die letzte. Wieso steht im Zähler: n + 2 -1 , also woher kommt die -1  ?

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Das ist ein gängiger Trick, zu versuchen, den Zähler so umzuformen, sodass praktisch genau ein Teil wie im Nenner vorkommt. Beispiel

\(\frac{x^2+2x+2}{(x+4)(x+1)^2}\)

Zähler umschreiben

\(x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1\)

Damit hast du

\(\frac{x^2+2x+2}{(x+4)(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2+1}{(x+4)(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2}{(x+4)(x+1)^2}+\frac{1}{(x+4)(x+1)^2}\\=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{(x+4)(x+1)^2}\)

Ob das jetzt sinnvoll ist, kommt immer auf die Situation an, kann aber zb beim Intergrieren ganz nützlich sein, um so ein komplizierteres Integral in zwei Summen aufzuteilen. Und hier war dieses Prinzip nützlich, um auf die Induktionsbehauptung zu kommen.

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Okay, verstehe danke. Das zeigt mal wieder wie velfältig Mathe sein kann.

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Ja! Man muss eben viele Sachen ausprobieren.

Answer 3

Aloha :)

Ich würde die Induktionsvoraussetzung ein wenig umschreiben:$$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\stackrel!=1-\frac{1}{n+1}$$

Der Induktionsschritt ist dann:$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$$$$=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=1-\frac{1}{n+2}$$

Comments

Vielen Dank für euere Bemühungen bzw. Antworten !

LG