Sind Lineare Funktionen immer bijektiv?

Question

Ich habe hier eine Lineare Funktion: f(x)=3x+1

Sind Lineare Funktionen immer bijektiv?

f : Z -> Z

Z = (ganze Zahlen)

Comments

Ist die Gleichung f(x)=2 lösbar?

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y=2

Sieht so aus:

Mhh.. gute frage. Also Lösen kann man die Gleichung nicht.

Die Funktion ist nicht Injektiv, nicht Surjektiv und auch nicht Bijektiv

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Naja, ganz so schlimm ist es nun auch wieder nicht.

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Also Bijektiv ist sie nicht.

Kannst du mir sagen, ob die Surjektiv oder Injektiv ist? Und warum.

EDIT: Sie ist Surjektiv oder?

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Die Unlösbarkeit von Gleichungen wie f(x)=2 zeigt, dass f nicht surjektiv ist. Daher ist sie natürlich auch nicht bijektiv. Injektiv ist sie allerdings schon, aber das war ja nicht die Frage.

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Injektiv ergibt doch keinen Sinn?

Injektiv: Für jedes Y existiert höchstens ein X.

Für jedes Y, also bei uns Y=2 existiert höchstens ein X. Wir haben aber unendlich viele X werte. Weil egal welchen X wert ich mir ansehen, haben wir für Y=2

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Injektiv: Für jedes Y existiert höchstens ein X.

Ja, das trifft hier zu.

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Aber wir haben doch "einen" Y Wert, verteilt auf verschiedene x werte. Also ist die Funktion nicht Injektiv, weil wir für den Y wert von "2" unendlich viele X Werte haben.

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@Martin: Du ignorierst " f : Z -> Z " als Teil der Definiton von f.

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Aber auch bei "f : Z → Z" ist die Funktion nicht Injektiv, da den ganzen X Werten z.b [0,1,2..] nur "ein" Y wert zugeordnet wird.

Also ein y Wert von 2 und unendlich viele X Werte. Also ist die Funktion f(x)= 2 surjektiv.

Injektiv macht ja keinen Sinn, weil es dort heißt: "für jedes y existiert höchstens ein x".

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f ist injektiv, aber nicht surjektiv!

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Aber warum?

Es existieren unendlich viele x Werte.

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Also ein y Wert von 2 und unendlich viele X Werte. Also ist die Funktion f(x)= 2 surjektiv.

Zu y=2 aus dem Zielbereich Z von f gibt es kein x aus dem Definitionsbereich Z von f mit f(x)=2. Also ist f nicht surjektiv!

Injektiv macht ja keinen Sinn, weil es dort heißt: "für jedes y existiert höchstens ein x".

Was soll das denn heißen? Weil zu jedem y aus dem Zielbereich Z von f höchstens ein x aus dem Definitionsbereich Z von f mit f(x)=y existiert, ist f injektiv!

Answer 1

Ich habe hier eine Lineare Funktion: f(x)=3x+1

Die ist auf \(\mathbb{Z}\) nicht bijektiv, weil sie wegen \(f(x)\neq 0 \,\forall x\in \mathbb{Z}\) nicht surjektiv ist.

Comments

Achso, deswegen:

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\( f(x) \neq 0 \forall x \in \mathbb{Z} \)

Was meinst du mit dieser Aussage?

"nicht Bijektiv, da y nicht Null ist und das für alle x werte aus Z."

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da y nicht Null ist und das für alle x werte aus Z.

Ja, genau.

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Kannst du das veranschaulichen oder auf eine andere Art und weiße beschreiben? Ich kann damit so nicht viel anfangen.

Answer 2

Ich ergänze deine Zeichnung mal folgendermassen:

~plot~ 1;2;3;3x+1; [[-6|6|-5|5]] ~plot~

Nun hier ZxZ (die Schnittpunkte auf dem Koordinatengitter ) dazudenken.

Zur Funktion gehören nur solche Schnittpunkte.

Diskussion zu den Begriffen bereits in den Kommentaren zur Frage.