Vollständige Induktion Summenformel verzweifelt

Question

(a) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die sog. geometrische Summenformel: Es gilt
$$\sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
für $q \neq 1$ und alle $n \in \mathbb{N}$.
(b) Welche Formel kann für die Summe angegeben werden, wenn $q=1$ gilt? ( Tipp: Hier benötigen Sie keine vollständige Induktion)

Hallo. Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen zeigen:$$\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad;\quad q\ne1$$

Verankerung bei $n=0$:$$\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^0q^k=q^0=1=\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^{0+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt $n\to n+1$:

$$\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k=q^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n}q^k\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}=q^{n+1}+\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{q^{n+1}(1-q)}{1-q}+\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k}=\frac{q^{n+1}-q^{n+2}+1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}\quad\checkmark$$

Für $q=1$ lautet die Summenformel:$$\sum\limits_{k=0}^n1^k=\sum\limits_{k=0}^n1=n+1$$