gleichungen in komplex

Question

Aufgabe:

was sind die LÖSUNGEN mit rechenweg bitte von

z^4 + (2-2i)z^2 = 4i.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Substtituiere z²=u und löse die quadratische Gleichung

u² + (2-2i)u - 4i = 0

Vergiss nicht die Rücksubstitution.

Comments

aber bekomme ich wurzel von negative werte mit i

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Das ist im Komplexen ganz normal.

Finde nun die beiden komplexen Zahlen, deren Quadrat diese "negativen Werte mit i" (schreib doch mal, was du konkret damit meinst)  ergeben.

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ich habe die beide u1 und u2 gerechnet und habe bekommen u1=1-i+wurzel von -6

u2=1-i-wurzel von -6i

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wie mache ich weiter dass wusste ich nicht

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Es gilt \(u=-1+i\pm\sqrt{(-1+i)^2+4i}\) und somit

 \(u=-1+i\pm\sqrt{(-2-2i)+4i}\)

=\(-1+i\pm\sqrt{-2+2i}\)

\(\sqrt{-2+2i}\) sind die beiden komplexen Zahlen z=a+bi, für die

(a+bi)²= -2+2i gilt.

Multipliziere (a+bi)² aus und mache einen Koeffizientenvergleich mit  -2+2i.

Answer 2

z^4 + (2-2i)z^2 = 4i

(z^2+1-i)^2= 4i+(1-i)^2=4i+1-2i+i^2=2i  | \( \sqrt{} \)

1.) z^2=i-1+\( \sqrt{2i} \)

..........

Text erkannt:

\( \sqrt{2 i}=\sqrt{1+2 i-1}=\sqrt{1+2 i+i^{2}}=\sqrt{(i+1)^{2}}=i+1 \)

1.) z^2=i-1+i+1 = 2i |\( \sqrt{} \)

z₁=\( \sqrt{2i} \)=i+1

z₂=-\( \sqrt{2i} \)=-i-1

2.) z^2=i-1-\( \sqrt{2i} \)=i-1-i-1=-2  |\( \sqrt{} \)

z₃=i*\( \sqrt{2} \)

z₄=-i*\( \sqrt{2} \)