Aloha :)
Wir formen die Summe zunächst etwas um$$A(n)\coloneqq\sum\limits_{k=0}^{n-1}(n+k)(n-k)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(n^2-k^2)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}n^2-\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^2=n^3-\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^2$$und zeigen nun die Behauptung$$A(n)=\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$$mittels vollständiger Induktion.
Verankerung bei \(n=1\):$$A(n)=A(1)=1^3-\sum\limits_{k=0}^{1-1}k^2=1=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$A(n+1)=(n+1)^3-\sum\limits_{k=0}^nk^2=\left(n^3+3n^2+3n+1\right)-\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^2+n^2\right)$$$$\phantom{A(n+1)}=\left(n^3-\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^2\right)+2n^2+3n+1$$Jetzt setzen wir die Induktionsvoraussetzung ein:$$A(n+1)=\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}+2n^2+3n+1$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(4n^2-n)}{6}+\frac{12n^2+18n+6}{6}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(4n^2-n)}{6}+\frac{12n^2+12n+6n+6}{6}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(4n^2-n)}{6}+\frac{12n(n+1)+6(n+1)}{6}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(4n^2-n)}{6}+\frac{(n+1)(12n+6)}{6}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(4n^2+11n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6}$$$$\phantom{A(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)(4(n+1)-1)}{6}\quad\checkmark$$
