Nach Parameter a auflösen

Question

Aufgabe:

wie kann ich das Gleichungssystem lösen, sodass für die Werte des Paramenters a eine eindeutige Lösbarkeit vorhanden ist:

2x-5y=9

4x+ay=5

Problem/Ansatz:

eventuell a ausklammern?

Answer 1

I.) 2x-5y=9

II.) 4x+ay=5

I.) x = (9 + 5 * y) / 2

II.) 4 * (9 + 5 * y) / 2 + a * y = 5

II.) 18 + 10 * y + a * y = 5

II.) (10 + a) * y = - 13

II.) a = - 13 / y - 10

y ist frei wählbar, allerdings mit y ≠ 0

a und x hängen dann von y ab

Answer 2

1.)  2x-5y=9   →   y=\( \frac{2}{5} \)x-\( \frac{9}{5} \)

2.)  4x+ay=5    →  y=-\( \frac{4}{a} \) x + \( \frac{5}{a} \)

\( \frac{2}{5} \)x-\( \frac{9}{5} \)=-\( \frac{4}{a} \) x + \( \frac{5}{a} \)

\( \frac{2}{5} \)x+\( \frac{4}{a} \) x =\( \frac{9}{5} \)+ \( \frac{5}{a} \)

x*(\( \frac{2}{5} \)+\( \frac{4}{a} \)) =\( \frac{9}{5} \)+ \( \frac{5}{a} \)

Text erkannt:

\( x \cdot \frac{2 a+20}{5 a}=\frac{9 a+25}{5 a} \)
\( x \cdot(2 a+20)=(9 a+25) \)
\( x=\frac{9 a+25}{2 a+20} \)
1.) \( y=\frac{2}{5} \cdot \frac{9 a+25}{2 a+20}-\frac{9}{5}=-\frac{13}{a+10} \)
2.) \( y=-\frac{4}{a} \cdot \frac{9 a+25}{2 a+20}+\frac{5}{a}=-\frac{2}{a} \cdot \frac{9 a+25}{a+10}+\frac{5}{a}=-\frac{13}{a+10} \)
\( P\left(\frac{9 a+25}{2 a+20} \mid-\frac{13}{a+10}\right) \)
1. \( a=0 \rightarrow P\left(\frac{25}{20} \mid-\frac{13}{10}\right) \)
2.) \( a=1 \rightarrow P_{1}\left(\frac{9+25}{2+20} \mid-\frac{13}{1+10}\right) \rightarrow P\left(\frac{34}{22} \mid-\frac{13}{11}\right) \)

Answer 3

Aloha :)

Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist:$$0\ne\begin{vmatrix}2 & -5\\4 & a\end{vmatrix}=2\cdot a-4\cdot(-5)=2a+20\implies 2a\ne-20\implies a\ne-10$$

Für \(a\ne-10\) ist das Gleichungssystem also eindeutig lösbar. Die Lösungen sind schnell gefunden, wenn wir das Doppelte der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahieren:$$(4x+ay)-2\cdot(2x-5y)=5-2\cdot9\implies(a+10)y=-13\implies y=-\frac{13}{a+10}$$$$2x-5y=9\implies x=\frac{9+5y}{2}=\frac{9-\frac{65}{a+10}}{2}=\frac{9a+90-65}{2(a+10)}\implies x=\frac{9a+25}{2(a+10)}$$