Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir gehen von der geometrischen Reihe aus:$$S(x)\coloneqq\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\quad;\quad|x|<1$$
Solange wir uns innerhalb des Konvergenzradius \(|x|<1\) der Reihe bewegen, ist die Ableitung der unendlichen Summe gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Summanden:$$S'(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot x^{n-1}=\sum\limits_{n=1}^\infty n\cdot x^{n-1}$$Weil wir nun schon geübt sind, leiten wir nochmal ab:$$S''(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty n(n-1)\cdot x^{n-2}=\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)\cdot x^{n-2}$$
Andererseits können wir auch den geschlossenen Ausdruck 2-mal ableiten:$$S''(x)=\left(\frac{1}{1-x}\right)''=\left(\frac{1}{(1-x)^2}\right)'=\frac{2}{(1-x)^3}$$Also gilt:$$\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)\cdot x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}\quad;\quad|x|<1$$
Damit sind wir fertig:$$\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\!\!\!\!=\frac{1}{3^3}\sum\limits_{n=2}^\infty n(n-1)\left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}\!\!\!\!=\frac{1}{3^3}\cdot\frac{2}{\left(1-\frac{1}{3}\right)^3}=\frac{2}{(3-1)^3}=\frac{1}{4}$$
