Finden Sie das kleinste N€N , für das die folgende Aussage wahr ist.

Question

Aufgabe:

(a) Finden Sie das kleinste \( N \in \mathbb{N} \), für das die folgende Aussage wahr ist. Für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geqq N \) gilt

\(n ! \leqq n \cdot\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^{n}\)

Dabei ist e die Eulersche Zahl. Beweisen Sie anschließend diese Aussage mit vollständiger Induktion. Sie dürfen dabei die Abschätzung

\(\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} \leqq \frac{1}{\mathrm{e}}\)

Problem/Ansatz:

?

Answer 1

Hallo

da ln monoton ist, kannst du auf die Ungleichung ln anwenden und damit  links ne Summe haben, die man abschätzen kann, rechts auch und dann muss man eventuell noch 2 Zahlen ausprobieren,

danach die Induktion mit dem Tip oder auch dem ln.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

$$\text{Behauptung:}\quad n!\le n\left(\frac{n}{e}\right)^{n}$$Verankerung: Wir suchen die kleinst-mögliche Verankerung für die Induktion:$$n=6\implies 720=6!\stackrel?\le6\cdot\left(\frac{6}{e}\right)^6\approx693,9\quad\text{FAIL}$$$$n=7\implies 5040=7!\stackrel?\le7\cdot\left(\frac{7}{e}\right)^7\approx5256,8\quad\checkmark$$Damit haben wir die Behauptung bei \(n=7\) verankert.

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$(n+1)\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\!\!\!=(n+1)^{n+2}\left(\frac{1}{e}\right)^n\!\cdot\frac{1}{e}\stackrel{\text{(Tipp)}}\ge(n+1)^{n+2}\left(\frac{1}{e}\right)^n\!\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}$$$$=(n+1)\cdot n\left(\frac{n}{e}\right)^n\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}\ge(n+1)\cdot n!=(n+1)!\quad\checkmark$$

Die Behauptung gilt also für alle \(n\ge7\).