Berechnen Sie die Länge des Zykloidenbogens

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Länge des Zykloidenbogens

$\vec{u}$ (t) = $\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} r(t-sint) \\ r(1-cost) \end{pmatrix}$

für 0 ≤ t ≤2π

Answer 1

Aloha :)

$$L=\int\limits_0^{2\pi}du(t)=\int\limits_0^{2\pi}\left\|\frac{d\vec u}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\left\|\binom{r-r\cos t}{r\sin t}\right\|\,dt=r\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2t}\,dt$$$$\phantom{L}=r\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t}\,dt=r\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt=r\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}}\,dt$$$$\phantom{L}=r\int\limits_0^{2\pi}2\sin\frac{t}{2}\,dt=r\left[-4\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi}=-4r\left(\cos\pi-\cos0\right)=-4r(-1-1)=8r$$

Comments

wofür stehen die dopppelten betragsstriche?

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hallo

warum fragst du, nachdem sie nach dem = aufgelöst sind?

lul

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ja ich frage mich was bedeuten diese zwei betragsstriche normalerweise steht doch da immer einer wegen betrag

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ob 1 oder 2 Betragsstriche für eine Norm ist doch egal, wenn sie dann genommen wird.

Gruß lul

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Bei Vektoren schreibt man für die Norm gerne auch zwei Betragsstriche, um sie von der Betragsfunktion für reelle Zahlen zu unterscheiden.

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Danke :) @Tschakabumba könnets du bitte wenn es dir passt meine zwei Aufgaben angucken und gucken ob das Integral so stimmt?

Answer 2

Hallo

einfach das  Integral über ds=|r'|dt

Gruß lul

Comments

ich habe am Ende irgendwie d $\int \limits_{0}^{2 pi }$ cos⁵ (t) +sin⁵ (t) dt ich komme hier nicht weiter

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Hallo

Tschaika hat doch alles vorgerechnet? wie du auf dein Ergebnis kommst sagst du nicht, willst aber von uns was erklärt haben. Ich verstehe deinen Umgang mit dem Forum nicht mehr. Was soll denn nach "ich habe am Ende irgendwie --" noch gesagt werden ausser" irgendwie" ist falsch.

lul