Abschätzung Beweis mit Dreiecksungleichung

Question

Aufgabe: Beweisen sie folgende Abschätzung:

und daraus soll ich folgern dass sie eingeschränkt auf [a,b] Lipschitz stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich konnte die Abschätzung nicht beweisen, ich hatte an Dreiecksungleichung gedacht.

Text erkannt:

\( \left|f\left(t_{1}\right)-f\left(t_{2}\right)\right| \leq \max _{t \in[a, b]}\left|f^{\prime}(t)\right|\left|t_{1}-t_{2}\right| \)

Comments

Hallo,

informiere Dich über den Mittelwertsatz der Differentialgleichung.

Gru0ß Mathhilf

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Differentialrechnung nicht ...gleichung

Answer 1

Dividiere auf beiden Seiten der Ungleichung durch |t₁-t₂|. Dann steht da: Der Betrag des Differenzenquotienten auf einem Intervall [a,b] ist kleiner oder gleich dem Maximum aller Ableitungen an einer Stelle t auf dem Intervall [a,b].

Answer 2

Mittelwertsatz besagt: Für alle t1, t2 im

Intervall [a,b] gibt es ein t mit f ' (t) = ( f(t2)-f(t1) ) / (  t2 - t1 )

Das gilt dann ja auch für die Beträge

                         | f ' (t) |=  | f(t2)-f(t1)  | /  |t2 - t1 |

<=>      | f ' (t) | *  |t2 - t1 |=  | f(t2)-f(t1)  |

Und wenn M das Maximum von | f ' (t) | auf [a,b] ist,

also     M *  |t2 - t1 | ≥  | f(t2)-f(t1)  |. q.e.d.