Funktion f(x) = cos(1/x) und g(x)= x*cos(1/x) auf Stetigkeit untersuchen

Question

Plotten Sie diese Funktionen von Hand,  o.ä. und untersuchen Sie sie bezüglich Stetigkeit (unter Umständen lohnt es sich dabei, die Fälle x ≠ 0 und x = 0 separat zu betrachten):

 $f: R \rightarrow R, \quad f(x):=\left\{\begin{array}{ll}{\cos \left(\frac{1}{x}\right),} & {x \neq 0} \\ {0,} & {x \neq 0}\end{array}\right\}$

$g: R \rightarrow R, \quad g(x):=\left\{\begin{array}{ll}{x \cdot \cos \left(\frac{1}{x}\right),} & {x \neq 0} \\ {0,} & {x \neq 0}\end{array}\right\}$

Comments

In der Aufgabe ist von x=0 die Rede. Die Fälle X=0 und x≠0 sollen seperat betrachtet werden

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Ich bin einfach ratlos was zutun ist. Ich bin mir nichteinmal sicher wie diese Darstellung der Funktion zu interpretieren ist.


Die Funktion zu plotten ist kein Problem. Wolfram Alpha.

Aber die Stetigkeit zu überprüfen ist mir ein Dorn im Auge..

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Du musst eigentlich nur den links- und rechtseitigen Grenzwert gegen 0 betrachten, da die Funktionen andernorts nach bekannten (?) Sätzen stetig sind.

f ist in x=0 nicht stetig.
g dagegen schon.

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Also muss ich die Funktion für <0 und >0 betrachten und einfach dazu sagen, dass f(0) eine Polstelle ist, dementsprechend nicht stetig ist?

g(0) kann doch auch als hebbare singularität beschrieben werden oder irre ich mich?

Answer 1

Hier siehst du die Funktion zu f(x)

1/x geht für x gegen 0 selbst gegen unendlich.

Der cos(1/x) hat damit für x gegen 0 keinen definierten Wert.

Als nächstes die Funktion von g(x)

Hier ist der Grenzwert für x gegen 0 genau 0 und damit ist g(x) durch y = 0 für x = 0 stetig ergänzbar.