Mein größtes Problem liegt darin, die Menge M richtig zu verstehen.
Die Elemente von M sind Tupel der Länge n bestehend aus Elementen in G, deren Verknüpfung gleich das neutrale Element ist.
Beispiel 1: \( G = ( \mathbb Q \backslash \{ 0 \}, \cdot, 1) \) und \( n = 3 \).
Dann ist \( M = \{ (x,y,z) ~|~ x,y,z \in \mathbb Q \backslash \{ 0 \} \text{ und } x\cdot y\cdot z = 1 \} \)
Übung für dich: Ist \( (1,2,-1) \in M \)? Wie sieht es mit \( (5,-2,-\frac{1}{10}) \) aus?
Beispiel 2: \( G = (\mathbb Z, +, 0) \) und \( n = 5 \).
Wie sieht hier M konkret aus? Ist \( (2,3,-6,7,-6) \in M \)? Wie sieht es mit \( (4,-2,42,-37,5) \) aus?
Verstanden?
Vielleicht kann mir auch da jemand helfen. Mich verwirrt vor allem das (g, ...,g) = m, denn wie wird denn dann f ausgeführt wenn g kein x ∈ {1,...,n} dabei hat?
Die Elemente aus M haben die Form \( (g_1,...,g_n) \). Du betrachtest hier das spezielle Element \( (g,...,g) \) für ein \( g \in G \). Das heißt du kannst in der Funktion \( g_1 = g,..., g_n = g \) setzen.
Stab (m) ist ja die Untergruppe von f und ist allgemein definiert als Stab(m) = {σ ∈ C I f (σ, m) = m} angewendet auf diese Operation.
f ist eine Abbildung. Was du hier mit Untergruppe meinst verstehe ich nicht. Korrekt ist aber
Stab(m) = {σ ∈ C I f (σ, m) = m}.
So ist der Stabilisator definiert. Das sind einfach alle Gruppenelemente in C die das m nicht verändern.
Dieses Stab(m) ist jetzt also gleich C. C ist wiederum C = <σ> = {σ^k I k ∈ ℕ}. Also sind jetzt diese beiden Mengen gleichgesetzt {σ ∈ C I f (σ, m) = m} = {σ^k I k ∈ ℕ}.
Das ist korrekt. Verwende zur besseren Unterscheidbarkeit aber besser andere Bezeichner in der ersten Menge
{τ ∈ C I f (τ, m) = m} = {σ^k I k ∈ ℕ}
Bevor du da nachher irgendwas durcheinander mixt.
D.h. also, dass alle n verschiedene σ ∈ C die Bedingung f (σ, m) = m für beliebiges m ∈ M erfüllen muss.
Nein. Das heißt das für das fest gewählte \( m \in M \) alle Elemente aus C dieses Element nicht verändern.
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=> Sei m = (g_1,...,g_n) in M mit Stab(m) = C. Du musst jetzt zeigen, dass dann ein g in G existieren muss, s.d. m=(g,...,g). Also dass m ein Tupel ist, in dem jeder Eintrag gleich ist bzw. g_1 = ... = g_n = g.
Dafür kannst du wegen Stab(m) = C verwenden, dass für alle \( \tau \in C \) gilt: \( f(\tau, m) = m \).
Überlege dir mal wie \( C \) für \( n = 2,3,4 \) aussieht. Und schreibe dir explizit einfach mal alle Bedingungen hin die du aus \( f(\tau, m) = m \) so bekommst. Denk dran: Zwei Tupel sind gleich, wenn sie in jedem Eintrag übereinstimmen. Vergleiche also immer beide Seiten um Gleichheiten gewisser Einträge zu folgern.
<= Hier musst du zeigen, dass wenn m = (g,...,g) ein Tupel mit identischen Einträgen ist, dass dann der Stabilisator gleich C ist,
Die Inklusion \( \operatorname{Stab}(m) \subseteq C \) ist per Definition klar. Du musst also nur noch die andere zeigen: \( \operatorname{Stab}(m) \supseteq C \)
