Cauchy-Schwarz-Ungleichung :Bestimmen Sie max x∈S1 IIxII∞, sowie max x∈S1 IIxII1.

Question

Ich hoffe es kann mir jemand bei der folgenden Aufgaben die Lösungsschritte nennen. Ich bin schon am Verzweifeln :(

Folgende Aufgabenstellung ist gegeben:

Wir setzen S1:= {x ∈ ℝ\( ^{n} \) I IIxII2 = 1}.

Bestimmen Sie max x∈S1 IIxII∞, sowie max x∈S1 IIxII1.

Es soll zur Lösung die Cauchy-Schwarz-Ungleichung genommen werden. Für alle x, y ∈ ℝ\( ^{n} \) gilt |〈x, y〉| ≤ IIxII2IIyII2,
wobei 〈x, y〉 = \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) xiyi das Standardskalarprodukt auf ℝ\( ^{n} \) bezeichnet.

Comments

Die erste Aufgabe geht ohne CS-Ungleichung: Überlege Dir: Wenn \(\|x\|_2=1\) ist, was folgt dann für eine Abschätzung für die einzelnen Komponenten: \(|x_i| \leq ?\)? Was folgt daraus für \(\|x\|_{\infty}\)?

Gruß Mathhilf