Basen zwei verschiedener Untervektorräume bestimmen

Question

Gegeben seien zwei zweidimensionale Untervektorräume $U, V$ des R3, gegeben durch $U:=\left.\xi\left(\begin{array}{c}x \\ \frac{x}{z}\end{array}\right)\right| 2x+3 x+5z=0$ und $v:=\left\langle\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ 3\end{array}\right)\right\rangle$

Man bestimme eine Basis von $\mathrm{U} \cap \mathrm{V}$

Answer 1

Durch U und V wird jeweils eine Ebene (zweidimensionaler Untervektorraum des R³) definiert. Sofern diese nicht komplanar sind, ist U ∩ V eine Gerade, seine Basis also ein einzelner Vektor des R³.

Am einfachsten ist es wohl, den durch ein Erzeugendensystem gegebenen Untervektorraum V als Ebene in Koordinatenform darzustellen, da auch der Untervektorraum U in dieser Form vorliegt.

Dazu stellt man zunächst eine Parameterform der Ebene (ich nenne sie E_V) auf. Das ist ganz einfach, da sich diese aus dem Erzeugendensystem ohne Weiteres ablesen lässt:

$${ E }_{ V }:\vec { r } =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) +m\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) +n\left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} \right)$$

Diese bringt man nun zunächst in in Normalenform. Dazu bildet man den Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von E_V:

$$\vec { n } =\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2*5-3*4 \\ 3*3-1*5 \\ 1*4-2*3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{matrix} \right)$$

und stellt unter Verwendung eines Punktes a der Ebene E_V die Normalform auf. Ich verwende dazu den Aufpunkt

$$\vec { a } =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)$$

von E_V:

$${ E }_{ V }:\left( \begin{matrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{matrix} \right) \circ \left[ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) -\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \right] =0$$

Durch skalares Ausmultiplizieren erhält man hieraus die Koordinatenform von E_V:

$${ E }_{ V }:-2{ x }+4y-2z=0$$

Der Untervektorraum U ist direkt  als Koordinatenform einer Ebene gegeben, also:

$${ E }_{ U }:2{ x }+3y+5z=0$$

Der Schnitt U ∩ V der beiden Unterräume muss zu beiden Ebenen gehören, also hat man das lineare Gleichungssystem zu lösen, das aus den beiden Ebenengleichung besteht:

$$\left( { \begin{matrix} -2 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$$$\Leftrightarrow \left( { \begin{matrix} -2 & 4 & -2 \\ 0 & 7 & 3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$$$\Leftrightarrow \left( { \begin{matrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & 3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$

Daraus ermittelt man die Lösung:

$$7y=-3z\Leftrightarrow y=-\frac { 3 }{ 7 } z$$$$x=2y-z=-\frac { 3 }{ 7 } z-z=-\frac { 13 }{ 7 } z$$

Setzt man z = - 7 , erhält man:

$$x=13, y=3, z=-7$$

sodass also

$$U\cap V=\left< \begin{matrix} 13 \\ 3 \\ -7 \end{matrix} \right>$$

eine Basis von U ∩ V ist.