Aloha :)
Auf der Geraden$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}$$wählen wir irgendeinen beliebigen Punkt, am einfachsten den Ankerpunkt \(A(1|-4|4)\). Von diesem Punkt ziehen wir einen Vektor zum Punkt \(P(5|-14|11)\):
$$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a=\begin{pmatrix}5\\-14\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-10\\7\end{pmatrix}$$Diesen Vektor projezieren wir nun auf die Gerade \(g\):
$$\overrightarrow{AP}_\parallel=\left(\frac{\begin{pmatrix}4\\-10\\7\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}\right\|^2}\right)\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}=\frac{-12-50-14}{(-3)^2+5^2+(-2)^2}\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}=-\frac{76}{38}\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}$$$$\phantom{\overrightarrow{AP}_\parallel}=-2\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-10\\4\end{pmatrix}$$Der Vektor zum Lotfußpunkt \(L\) ist daher:
$$\vec\ell=\vec a+\overrightarrow{AP}_\parallel=\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6\\-10\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\-14\\8\end{pmatrix}\quad\implies\quad\boxed{L=(7|-14|8)}$$
Der Abstand \(d\) ist die Länge des Vektors von \(L\) zu \(P\):
$$d=\overline{LP}=\left\|\overrightarrow{LP}\right\|=\left\|\vec p-\vec\ell\,\right\|=\left\|\begin{pmatrix}5\\-14\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\-14\\8\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}\right\|$$$$\phantom{d}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\quad\implies\quad\boxed{d(P;g)=\sqrt{13}}$$
