Brennpunkt F, Brenngerade d und Asymptoten einer Hyperbel berechnen

Question

Aufgabe: Hyperbel h = {(x, y) ∈ R^2:x^2/9 − y^2 = 1}, berechne Brennpunkt F, Brenngerade d und die Asymptoten

Problem/Ansatz: Ich habe leider gar keinen Anhaltspunkt, wie ich an die Aufgabe herangehen kann., da ich das das letzte mal vor über 5 Jahren hatte. Es würde mir helfen, wenn ich die Formeln hätte und eine Erklärung, welche stelle für was steht, sodass ich es in die jeweiligen berechnungsformeln eingeben könnte.

Answer 1

Hallo,

schreibe die Gleichung der Hyperbel in der allgemeinen Form der 1.Hauptlage nochmal hin$$h: \quad \left(\frac{x}{3}\right)^2 -\left(\frac{y}{1}\right)^2 = 1$$so kann man unmittelbar die Parameter \(a=3\) und \(b=1\) ablesen. Die Brennpunkte \(F_{1,2}\) liegen dann bei \(F_{1,2} = (\pm e|\, 0)\). Und mit $$e^2 = a^2+b^2 \implies e = \pm\sqrt{10}$$folgt dann$$F_{1,2} = \left(\pm \sqrt{10}\mid\, 0 \right)$$Die Brenngerade ist wahrscheinlich die Gerade durch die Brennpunkte - also hier die X-Achse.

Und die Asymptoten berechnen sich ebenso aus den Parametern der 1.Hauptlage$$y = \pm \frac ba x  \implies y = \pm \frac 13 x$$

https://www.desmos.com/calculator/ue0e5zdpev

Gruß Werner

Comments

Achtung. Die Brenngerade wird auch als Leitlinie bezeichnet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Leitlinien-Eigenschaft

Es ist also keine gerade durch die beiden Brennpunkte.

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Achtung. Die Brenngerade wird auch als Leitlinie bezeichnet.

Ok - das war mir nicht bekannt. Hinter dem von Dir angegebenen Link kommt das Wort 'Brenngerade' nicht vor. Eine Google-Suche mit "brenngerade leitlinie hyperbel" brachte gerade mal 7 Treffer, davon zwei von Dir ;-)

Die Leitlinien der Hyperbel liegen bei $$x=\pm d=\pm\frac{a^2}{e}=\pm\frac9{\sqrt{10}}$$

https://www.desmos.com/calculator/v3k3vijbta