Drücken Sie E[Xn+1lFn] durch Xn aus und finden Sie Werte an, bn, so dass Zn:=anXn+bn ein Martingal definiert.

Question

Aufgabe:

Zur Zeit n=0 plazieren wie N Kugeln beliebig in K Urnen und ändern dies dann in jedem Schritt wir folgt: Wähle eine der Kugeln zufällig gleichverteilt aus und lege sie in eine ebenfalls zufällig gleichverteilte gewählte Urne. Sei X_n die Anzahl der Kugeln in der ersten Urne nach n Schritten und (F_n)_n∈ℕ die natürliche Filtartion. Drücken Sie E[X_n+1lFn] durch X_n aus und finden Sie Werte a_n, b_n, so dass Z_n:=a_nX_n+b_n ein Martingal definiert.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier wirklich nicht weiter, kann mir vielleicht jemand helfen. das wäre super lieb.

Answer 1

Hallo,

es gilt

\( \mathbb{E}(X_{n+1}|\mathcal{F_n}) = (X_n + 1) \cdot \frac{N-X_n}{N}\cdot\frac1K + (X_n - 1)\cdot\frac{X_n}{N}\cdot\frac{K-1}{K} + X_n\cdot\left(\frac{N-X_n}{N}\cdot\frac{K-1}{K}+\frac{X_n}{N}\cdot\frac1K\right)\)

\( = X_n\cdot\frac{N-1}{N}+\frac1K \)

Für den zweiten Teil wende die Aufgabe davor mit \( u_n = \frac{N-1}{N}\) und \( v_n = \frac1K \) an.