Vektor mit Parameter, Berechnung der Projektion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Vektor v=[1,a,a] mit Parameter a Element R.

Berechne die Projektion lambda*v des Vektors w=[1,1,-1] auf Lin{v},

den von v aufespannten Unterraum des R^3.

Geben Sie in der Form lamda*v =[x,y,z]

x=?

y=?

z=?

Ich kann mit diesen Parametern leider nichts anfangen:/

Weiß jemand, wie das zu lösen ist?

Answer 1

Hallo Carla,

Willkomen in der Mathelounge!

Berechne die Projektion lambda*v des Vektors w=[1,1,-1] auf Lin{v},

Wenn \(\lambda v\) die Projektion von \(w\) auf \(v\) sein soll, dann muss \(w-\lambda v\) orthogonal zu \(v\) stehen. Das Bild zeigt den Differenzvektor \(w-\lambda v\) in hellblau für \(a=-0,5\)

D.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist 0. Daraus folgt$$\begin{aligned} 0&=\left<(w-\lambda v),\, v \right>  \\ 0 &= \left<w,\,v\right> - \lambda\left< v,\, v \right> \\ \implies \lambda &= \frac{\left<w,\,v\right>}{\left< v,\, v \right>}\\ \lambda &= \frac{1+a-a}{1+a^2+a^2}\\ \lambda&= \frac{1}{1+2a^2} \end{aligned}$$Also ist \(\lambda v\)$$\lambda v = \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \frac{1}{1+2a^2} \begin{pmatrix} 1\\a\\a \end{pmatrix}$$Gruß Werner