Kurvenintegral Schraubenlinie und Fluss Vektorfeldes einer Zylinderoberfläche

Question

Aufgabe: Kurvenintegral Schraubenlinie und Fluss Vektorfeldes einer Zylinderoberfläche

Gegeben ist ein Zylinder mit Radius R, der sich von z = 0 bis z = H erstreckt und ein Vektorfeld F: ℝ³ ->  ℝ3 mit

F(x,x,z) = (x²+ y², x² - y², z²).

a) Parametrisieren Sie eine Schraubenlinie γ auf der Zylinderoberfläche, die in 3 Windungen vom Bodenpunkt (R, 0, 0) zum Deckelpunkt (R, 0, H) führt. Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang ϒ in F.

b) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes durch die gesamte Oberfläche des Zylinders.

Für Aufgabe a habe ich die Schraubenlinie parametrisiert:
ϒ (t) = ( R cos t, R sin t, Ht/ (6π) für t ∈ ( 0, 6π).

Für Aufgabe b habe ich den Satz von Gauß benutzt und zuerst die Divergenz des Vektorfeldes berechnet.
div F = 2x -2y + 2z
Anschließend diese in Zylinder Koordinaten umgewandelt:
div F = 2ρcos φ - 2ρsin φ + 2z. Als dV benutze ich ρ dρ dφ dz.

Integral Grenze für φ (0, 2π)
Integral Grenze für ρ (0, R)
Integral Grenze für z (0, H)

Daraus folgt \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{R} \) \( \int\limits_{0}^{H} \) (2ρcos φ - 2ρsin φ + 2z) ρ dρ dφ dz

= \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{R} \) \( \int\limits_{0}^{H} \) 2ρ²cos φ - 2ρ²sin φ + 2pz dρ dφ dz

Problem/Ansatz:

Aufgabe a) Ich weiß nicht welche Grenzen ich für das Kurvenintegral nehmen soll, habe manche getestet und habe auch Schwierigkeiten beim Weiteren ausrechnen.

Aufgabe b) Mein Problem ist nun das ich das ρ nicht raus gezogen bekomme und ich nicht nach der zu integrierenden Variable umstellen kann.

Die Lösungen habe ich zu der Aufgabe, aber die oben genannten Probleme um selbstständig darauf zu kommen.

Lösung a) 1/3 H³

Lösung b) π H² R²

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) Die Parametrisierung der Schraubenlinie habe ich auch so:$$\gamma\colon\vec r=\begin{pmatrix}R\cos\varphi\\R\sin\varphi\\\frac{H}{6\pi}\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;6\pi]$$

Das Arbeitsintegral bzw. Kurvenintegral entlang des Weges \(\gamma\) durch das Feld \(\vec F\) ist nun:

$$E=\int\limits_\gamma\vec F(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_0^{6\pi}\vec F(\vec r(\varphi))\,\frac{d\vec r}{d\varphi}d\varphi=\int\limits_0^{6\pi}\begin{pmatrix}R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi\\R^2\cos^2\varphi-R^2\sin^2\varphi\\\frac{H^2}{36\pi^2}\varphi^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-R\sin\varphi\\R\cos\varphi\\\frac{H}{6\pi}\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^{6\pi}\begin{pmatrix}R^2\\R^2-2R^2\sin^2\varphi\\\frac{H^2}{36\pi^2}\varphi^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-R\sin\varphi\\R\cos\varphi\\\frac{H}{6\pi}\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom{E}=\int\limits_0^{6\pi}\left(-R^3\sin\varphi+R^3\cos\varphi-2R^3\sin^2\varphi\cos\varphi+\frac{H^3}{216\pi^3}\varphi^2\right)d\varphi$$$$\phantom{E}=\left[R^3\cos\varphi+R^3\sin\varphi-\frac{2}{3}R^3\sin^3\varphi+\frac{H^3}{648\pi^3}\varphi^3\right]_0^{6\pi}$$$$\phantom{E}=\left(R^3+\frac{H^3}{648\pi^3}\cdot216\pi^3\right)-R^3=\frac{H^3}{3}$$

zu b) Den Fluss des Vektorfeldes \(F\) durch die Oberfläche des Zylinders berechnen wir mit Hilfe des Gaußschen Satzes. Zur Abtastung des Volumens wählen wir Zylinderkoordinaten:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[0;H]\quad;\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$

Wir benötigen noch die Divergenz des Vektorfeldes$$\operatorname{div}\vec F=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^2+y^2\\x^2-y^2\\z^2\end{pmatrix}=2x-2y+2z=2(x-y+z)=2(r\cos\varphi-r\sin\varphi+z)$$

und können nun das Fluss-Integral formulieren:

$$\Phi=\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=0}^H2\left(r\cos\varphi-r\sin\varphi+z\right)\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{z=0}^H2\left[r^2\sin\varphi+r^2\cos\varphi+rz\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\,dr\,dz=\int\limits_{r=0}^R\,\int\limits_{z=0}^H4\pi rz\,dr\,dz$$$$\phantom{\Phi}=\int\limits_{r=0}^R\left[2\pi rz^2\right]_{z=0}^H\,dr=\int\limits_{r=0}^R2\pi rH^2\,dr=\left[\pi r^2H^2\right]_{r=0}^R=\pi R^2H^2$$

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort, das war der Hammer und hat mir sehr weiter geholfen! Eine Frage hätte ich dennoch. Warum wird bei a) wenn du das Alpha (t) in F einsetzt unten bei h^2/6pi^2 das phi mit quadriert und bei den Funktionen darüber nicht wo man in x^2 + y^2 und x^2 - y^2 einsetzt?

Wahrscheinlich weil man bei den anderen Funktionen cos (phi) hat und nicht wie da (H/6pi)* phi.

Sorry für die Schreibweise das einfügen dauert ewig. Du weißt bestimmt was ich meine.

Liebe Grüße

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Ja genau, bei den ersten beiden Koordinaten werden die Winkelfunktionen von \(\varphi\) quadriert. Bei der \(z\)-Komponente wird das \(\phi\) selbst quadriert:

$$x=R\cos\varphi\quad;\quad y=R\sin\varphi\;\quad z=\frac{H}{6\pi}\varphi$$

In dem Vektorfeld \(F\) haben wir nun die Komponenten:

$$x^2+y^2=R^2\cos^2\varphi+R^2\sin^2\varphi$$$$x^2-y^2=R^2\cos^2\varphi-R^2\sin^2\varphi$$$$z^2=\frac{H^2}{36\pi^2}\varphi^2$$