Parameterbestimmung und Scheitelpunkte

Question

könnt ihr mir helfen?

(a) Bestimmen Sie den Parameter \( m \) so, dass \( (m-1) x^{2}+2(m+2) x+m+1 \leq 0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt.
(b) Gegeben sei \( f_{m}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch \( f_{m}(x)=m x^{2}+2(m-1) x+m-1 \) mit \( m \neq 0 \).
i. Zeigen Sie, dass die Scheitelpunkte dieser Parabeln auf der Geraden \( x+y=0 \) liegen.
ii. Welcher Teil der Geraden \( x+y=0 \) enthält die Scheitelpunkte der Parabeln die nach unten geöffnet sind?

Answer 1

a)

f(x) = (m - 1)·x^2 + 2·(m + 2)·x + (m + 1)

m - 1 < 0 --> m < 1

Sx = -b/(2·a) = -2·(m + 2)/(2·(m - 1)) = (m + 2)/(1 - m)

Sy = (m - 1)·((m + 2)/(1 - m))^2 + 2·(m + 2)·((m + 2)/(1 - m)) + (m + 1) = - 9/(m - 1) - 4 ≤ 0 --> m ≤ - 5/4

Comments

Hi, okay danke das hilft mir sehr. Ich habe auch verstanden wie... aber könnt ihr mir vielleicht bei b) auch helfen?

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bi)

f(x) = m·x^2 + 2·(m - 1)·x + (m - 1)

Sx = -b/(2·a) = -2·(m - 1)/(2·m) = (1 - m)/m

Sy = m·((1 - m)/m)^2 + 2·(m - 1)·((1 - m)/m) + (m - 1) = (m - 1)/m

Damit ist jetzt genau die Gleichung

Sx + Sy = 0

erfüllt. Siehst du das?

bii)

Für Parabeln die nach unten geöffnet sind gilt

m < 0

und damit

x = (1 - m)/m = 1/m - 1 < -1

y = (m - 1)/m = 1 - 1/m > 1

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Ja hab ich auch verstanden, danke für die Hilfe :)

Answer 2

a) f(x)=(m-1)*x^2+2(m+2)*x+m+1

f´(x)=2*(m-1)*x+2m+4

(m-1)*x+m+2=0

(m-1)*x=-m-2

x=(\( \frac{m+2}{1-m} \))

f(\( \frac{m+2}{1-m} \))=(m-1)*(\( \frac{m+2}{1-m} \))^2+2(m+2)*(\( \frac{m+2}{1-m} \))+m+1

(m-1)*(\( \frac{m+2}{1-m} \))^2+2(m+2)*(\( \frac{m+2}{1-m} \))+m+1=0   bei m=-\( \frac{5}{4} \)=-1,25