Zeigen Sie: Für Familien linear unabhängiger Vektoren gilt folgendes

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum (J_i)_i ∈ ℕ eine Familie von Indexmengen mit J_i ⊂ J_i+1 für alle i ∈ ℕ. Weiterhin sei J = ∪_i ∈ ℕ J_i und B = (b_j )_{j ∈ J} eine Familie von Vektoren aus V. Zeigen Sie:

Ist für alle i ∈ ℕ die Familie B_i = (b_j)_{j ∈ Ji} eine Familie linear unabhängiger Vektoren, so ist auch B eine Familie linear unabhängiger Vektoren.

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe bin ich leider total überfordert und mir fehlt jeglicher Ansatz. Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Comments

Wann heißt denn eine Familie von Vektoren linear unabhängig?

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Da bin ich mir nicht ganz sicher, aber so wie ich es verstehe ist es eine Menge linear unabhängiger Vektoren. Die einzige mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination ist die, bei der alle Koeffizienten gleich Null sind.

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Das musst Du noch mal nachlesen. Eine Linearkombination ist ja grundsätzlich eine Summe mit endlich vielen Termen. Wie passt das zu einer Familie mit (eventuell ) unendlich vielen Elementen?

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Naja das würde dann doch bedeuten, dass die einzige Möglichkeit eine Linearkombonation mit den Vektoren der Familie die ist wo die Koeffizienten der Vektoren alle gleich Null sind, oder versteh ich da irgendwas ganz falsch?

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Auch dir vielen Dank, Mathhilf

Answer 1

Sei \(M\subseteq B \) endlich.

Sei \(n\in \mathbb{N}\) mit \(M \subseteq B_n\).

Sei \(\alpha_m\in K\) für jedes \(m\in M\), so dass \(\sum\limits_{m\in M}\alpha_m\cdot m = 0\) ist.

Dann ist \(\alpha_m = 0\) für jedes \(m\in M\), weil \(B_n\) linear unabhängig ist.

Comments

Hey oswald, danke dir für deine Antwort.

Könntest du die Antwort vielleicht noch mal erklären, ich verstehe noch nicht so ganz wie genau das die Behauptung zeigt.

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Dann ist \(\alpha_m = 0\) für jedes \(m\in M\), weil \(B_n\) linear unabhängig ist.

Also ist \(M\) linear unabhängig.

Also sind alle endlichen Teilfamilien von \(B\) linear unabhängig, weil \(M\) jede endliche Teilfamilie von \(B\) sein kann.

Also ist \(B\) linear unabhängig wegen der Definition von linearer Unabhängigkeit.

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Alles klar, vielen Dank für die Hilfe

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Gut. Dann musst du nur noch begründen ...

Sei \(n\in \mathbb{N}\) mit \(M \subseteq B_n\).

... warum so ein \(n\) existiert.

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Puhh da bin ich mir jetzt nicht so sicher.