Ist die Menge aller diagonalisierbaren und invertierbaren n × n-Matrizen über K eine Untergruppe von (GLn(K), ·)?

Question

Hallo :)

Aufgabe:

Ist die Menge aller diagonalisierbaren und invertierbaren n × n-Matrizen über K eine Untergruppe von (GLn(K), ·)?

Answer 1

Wähle \(A,B\in\mathbb R^{2\times2}\) mit \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix}\) und \(B=\begin{pmatrix}2&0\\-4&1\end{pmatrix}\). Offenbar sind beide Matrizen invertierbar und diagonalisierbar. Deren Produkt \(A\cdot B=\begin{pmatrix}-6&2\\-8&2\end{pmatrix}\) ist aber nicht diagonalisierbar. Demnach liegt hier keine Untergruppe vor.

Comments

Frage dazu, ist denn die matrizenmultiplikation nicht definiert in einem k vektorraum ?

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Es geht hier nicht um Vektorräume, sondern um Gruppen, bzw. Untergruppen.

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Ok verstanden , danke für die Erklärung