Wie ist dieses Intervall zu interpretieren?

Question

Ich habe ein Intervall gegeben und weiß grade nicht so genau, wie ich das interpretieren kann. Es geht um Mehrdimensionale Funktionen / Integrale Es ist:

\(A:=\left[0, 1\right]^2 \setminus (0, \frac{1}{2})^2 \)

Ist das dann einfach \(A=[\frac{1}{2},1]^2\)  ?

...

Answer 1

Hallo :-)

Leider nein. Du kannst dir die Menge auch folgendermaßen geometrisch hinzeichnen:

Das grüne ist die offene Menge \((0,\frac{1}{2})^2\). Deine Lösung hingegen würde nur folgende rote Menge repräsentieren:

Und da fehlt ja schon das Quadrat von oben und unten.

Comments

Vielen dank für die Erklärung!

Genauer geht es um diese Aufgabenstellung:

\(\text{Sei } A:= [0,1]^2 \setminus (0,\frac{1}{2})^2 . \\ \text{Berechnen Sie das Integral: } \int \limits_{A}^{}f(x,y)d(x,y)\)

Wie würde ich hier die Integralgrenzen einsetzen? Normalerweise habe ich bisher immer bspw. A= [0,1] x [0,1] gegeben, da war das dann klar. Aber wie ist das hier?

---

Nutze die Eigenschaften des Integrals. Die Menge \(A=[0,1]^2\setminus (0,\frac{1}{2})^2\) und \((0,\frac{1}{2})^2\) sind disjunkt. Also kannst du dein Integral folgendermaßen aufspalten:

$$ \int\limits_A \space f(x,y)\space d(x,y)=\int\limits_{[0,1]^2\setminus (0,\frac{1}{2})^2} \space f(x,y)\space d(x,y)\\=\int\limits_{[0,1]^2} \space f(x,y)\space d(x,y)-\int\limits_{(0,\frac{1}{2})^2} \space f(x,y)\space d(x,y), $$

wobei ich hier bereits die Integrierbarkeit von \(f\) vorausgesetzt habe.

---

Ah ja das macht Sinn. Vielen Dank!

Answer 2

\([0,1]\) ist die Menge aller reellen Zahlen von \(0\) bis \(1\).

\([0,1]^2\) ist die Menge aller Paare reellen Zahlen von \(0\) bis \(1\). Das ist kein Intervall. Du kannst es aber als Quadrat mit den Ecken \((0|0)\), \((1|0)\), \((1|1)\) und \((0|1)\) auffassen.

\(\left(0,\frac{1}{2}\right)\) ist die Menge aller reellen Zahlen zwischen \(0\) und \(\frac{1}{2}\).

\(\left(0,\frac{1}{2}\right)^2\) kannst du als Quadrat mit den Ecken \((0|0)\), \(\left(\frac{1}{2}|0\right)\), \(\left(\frac{1}{2}|\frac{1}{2}\right)\) und \(\left(0|\frac{1}{2}\right)\) ohne Rand auffassen.

Ich habe ein Intervall gegeben

Welches denn?

Comments

Danke für die Antwort...
Da habe ich dann etwas falsch verstanden. Genauer geht es um diese Aufgabenstellung:

\(\text{Sei } A:= [0,1]^2 \setminus (0,\frac{1}{2})^2 . \\ \text{Berechnen Sie das Integral: } \int \limits_{A}^{}f(x,y)d(x,y)\)