Wie bestimme ich die Gleichung der Tangentialebene am Graphen von f im Punkt (−1,2)?

Question

Gegeben sei die Funktion
f:ℝ² → ℝ, f(x,y) = (x−3y)²
.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene am Graphen von f im Punkt (−1,2):

z =  _______  +  _______   (x -   _______   ) +   _______    (y -  _______ ).

Kann mir jemand helfen und sagen, wie man diese Aufgabe zu lösen hat?

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Tangentialebene von $f(x;y)=(x-3y)^2$ am Punkt $(-1;2)$ lautet:$$z=f(-1;2)+\operatorname{grad}f(-1;2)\cdot\binom{x-(-1)}{y-2}$$

Die benötigten Werte kannst du nun berechnen:$$f(-1;2)=49$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2(x-3y)}{-6(x-3y)}\implies\operatorname{grad}f(-1;2)=\binom{2(x-3y)}{-6(x-3y)}=\binom{-14}{42}$$und in die Gleichung für die Ebene einsetzen:$$z=49+\binom{-14}{42}\cdot\binom{x+1}{y-2}=49-14(x+1)+42(y-2)$$Das musst du jetzt etwas pathologisch in die Lösung eintragen:

$$z=\boxed{49}+\boxed{-14}\cdot(x-\boxed{(-1)})+\boxed{42}\cdot(y-\boxed{2})$$

Comments

Danke dir erstmal, wie kommst du oben auf :

(x-(-1) / y-2) und hast du (-1,2) darein eingesetzt und dann 49 bekommen...?

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Die Gleichung für die Tangentialebene einer Funktion $f(\vec r)$ an der Stelle $\vec x_r$ lautet allgemein:$$z=f(\vec r_0)+\operatorname{grad}f(\vec r_0)\cdot\left(\vec r-\vec r_0\right)$$Wenn ich nun $\vec r=\binom{x}{y}$ und $\vec r_0=\binom{-1}{2}$ einsetze, wird daraus$$z=f(-1;2)+\operatorname{grad}f(-1;2)\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{-1}{2}\right)$$Die beiden Vektoren in der Klammer kann man noch zusammenfassen:$$z=f(-1;2)+\operatorname{grad}f(-1;2)\cdot\binom{x-(-1)}{y-2}$$

Den Punkt $(-1;2)$ habe ich in die Funktionsgleichugn eingesetzt:$$f(-1;2)=((-1)-3\cdot2)^2=(-7)^2=49$$

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Dankeeschöön!!

Answer 2

Hallo

bilde den Gradienten, der gibt dir ja die Steigung in x und y Richtung.

dann noch die Ebene durch den gegebenen Punkt.

Gruß lul