Untersuchen sie die Reihe (n=0 bis Unendlich) (-1)n/3-2n auf Konvergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{3-2n}}$

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits das Leibnizkriterium überprüft, die Folge $\frac{1}{3-2n}$ ist zwar eine Nullfolge, ist jedoch monoton wachsend.

Guckt man sich die Folgeglieder der Reihe an starten wir mit $\frac{1}{3}$ sind dann bei -$\frac{2}{3}$, -$\frac{5}{3}$, -$\frac{4}{3}$...

Irgendwann sind die Folgeglieder alle ungefähr

-1,452, also müsste die Reihe doch konvergent sein. Wie kann ich das zeigen?

Answer 1

Hallo,

Irgendwann sind die Folgeglieder alle ungefähr -1,452, also müsste die Reihe doch konvergent sein. Wie kann ich das zeigen?

Klammere die $-1$ einfach aus$$\begin{aligned}\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{3-2n}} &= -\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2n-3}}\\&= -\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n &&\left|\,a_n = \frac1{2n-3}\right.\end{aligned}$$Somit erhältst Du ein $a_n$ welches das Leibnizkriterium erfüllt. Dass der Grenzwert am Ende negativ ist, spielt für das Konvergenzverhalten ja keine Rolle.

Wolfram Alpha liefert dann $$-\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2n-3}} = -\left( \frac23 + \frac\pi4\right)$$

Comments

Der Grenzwert lässt sich auch herleiten. Ich lasse dazu das Minuszeichen mal weg. Es ist$$\begin{aligned} \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2n-3}} &= \frac 1{-3} + \frac{-1}{-1} + \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2n-3}} &&\left|\, n=k+2\right. \\ &= \frac23 + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+2}}{2(k+2)-3 } \\ &= \frac23 + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1 } \\ &= \frac 23 + \arctan(1) \\&= \frac23 + \frac\pi4 \end{aligned}$$Siehe dazu Leibnizreihe und die Reihenentwicklung des Arkustangens.

Answer 2

Deine Glieder stimmen nicht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5En%2F%283-2n%29

Comments

Das liegt daran, das er bei dir ab n=1 anfängt

Answer 3

Hallo,

leite mit dem Leibniz-Kriterium die Konvergenz der Reihe

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-3}$$

nach und überlege, warum das auch die Konvergenz der Original-Reihe beweist.

Gruß Mathhilf