Vom Duplikat:
Titel: Zeigen Sie ... und Anfangswertaufgabe
Stichworte: analysis
Aufgabe:
Es sei \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit \(f(x,a) \leq f(x,b) \:\: für \:\: alle \:\: x\geq0 \:\: und \:\: a \leq b, \:\:und \:\:es\:\:sei\:\:g:[0,\infty[\rightarrow \mathbb{R}\:\:stetig \). Zeigen Sie
a) \(wenn \:\:v(x)<g(x)+\int \limits_{0}^{x}f(t,v(t))dt\:\: und \:\:w(x)\geq g(x)+\int \limits_{0}^{x}f(t,w(t)dt\:\:für\:\:alle\:\:x\geq 0,\:\:dann\:\:v(x)<w(x)\:\:für\:\:alle\:\:x\geq 0. \)
Hinweis: Nehmen Sie an, dass \(ξ=inf\{ x\geq 0|v(x)\geq w(x)\} \) existiert, und konstruieren Sie daraus einen Widerspruch.
b) Es sei \(φ = \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Lösung der Anfangswertaufgabe \(y'=f(x,y), \:\: y(0)=y_0 \)
und für \(\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gelte
\(\psi' \leq f(x,\psi(x))\:\:für\:\: alle\:\: x \geq0\:\:und\:\: \psi(0)<y_0 \)
Zeigen Sie, dass \(\psi(x)<φ(x)\:\:für \:\: alle\:\: x\geq0. \)
Hinweis: verwenden Sie Teil (a).
