Untergruppe vo Gruppe

Question

Aufgabe:

Jede Gruppe der Ordung n ist isomorph zu einer Untergruppe von Sn!. Zeige dies.

Problem/Ansatz:

wir wissen das G die Gruppe ist. und das |s_n!|= |n!| ist und das s(G)={φ: G →G|φ bijektiv }

|G|=n ⇒ | s(G)| = n!

jetzt muss ich ja zeigen das es gibt ein Untergruppe von S (G) mit SG ≅ G.

wie mach ich weiter

Comments

|S_(n!)|= |n!|

Nein. Wenn der Index hier wirklich n! ist, dann hat die symmetrische Gruppe S_(n!) genau (n!)! Elemente.

Es ist |S_n| = n!

|G|=n ⇒ | s(G)| = n!

das ist richtig.

jetzt muss ich ja zeigen das es gibt ein Untergruppe von S (G) mit SG ≅ G.

das ergibt keinen Sinn. Du brauchst eine Untergruppe U ≤ s(G) mit U ≅ G.

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Ein anderer Weg wäre einen injektiven Homomorphismus \( G \to s(G) \) anzugeben. Warum reicht das?

Hier findest du einen Beweis:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem#Proof_of_the_theorem

falls du konkrete Fragen dazu hast, stell diese.

Answer 1

Sei \(\psi_g:G \to G,x\mapsto gx\) für jedes \(g\in G\). Dann ist \(\psi_g\) bijektiv.

Sei \(\varphi: G\to s(G), g\mapsto \psi_g\). Dann ist \(\varphi\) ein injektiver Gruppenhomomorphismus.

Also ist \(G\) isomorph zu \(\operatorname{Bild}\varphi\).