0 Daumen
953 Aufrufe

Aufgabe:

Integrationsreihenfolge:

Wie kommt man auf die änderung der Integrationsreihenfolge:

V = \( \int\limits_{1}^{e} \) \( \int\limits_{0}^{ln(x)} \) y dy dy

-> V = \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \int\limits_{e^y }^{e} \) y dx dy


Ich verstehe wie man auf die 0 und 1 kommt aber wie kommt man drauf das die Integrationsgrenzen bei x aufeinmal [e^y; e] sind?

Avatar von

Was ist denn y?

der werner hat es schon richtig betrachtet

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

es wird ja allen Anschein nach über ein Gebiet integriert, das so aussieht

~plot~ ln(x);x=1;x=e;[[-0.5|3.7|-1|2]] ~plot~

Das Gebiet ist nach 'oben' durch die Funktion \(y=\ln(x)\) bzw. \(x=e^y\) (blau) begrenzt, nach 'rechts' durch \(x=e\) und nach 'unten' durch \(y=0\). Die Funktion ist \(f(x,y) = y\); aber das ist hier nicht so wichtig.

Wenn man mit der Integration in Y-Richtung beginnt, so denke Dir eine Gerade, die in Y-Richtung verläuft, und die verläuft von unten \(x=0\) bis zur blauen Kurve \(y=\ln(x)\). Also$$\dots = \int_0^{\ln(x)} y\,\text dy = \frac12\ln^2(x)$$das kann man sich vorstellen, wie die Fläche eines Dreieckes, welches senkrecht auf der Ebene steht und die Grundseite läuft von \(0\) bis \(\ln(x)\). Je nachdem an welcher Stelle \(x\) das Dreieck steht, ist es unterschiedlich groß.

Und das folgende Integral addiert alle diese Dreiecksfläche mal \(\text dx\) zu einem Volumen.

Beginnt man mit der Integration in X-Richtung, so steht dort zwangsläufig $$\dots = \int_{x=e^y}^{x=e} y\,\text dy = \left[y\cdot x\right]_{e^y}^e = y\cdot e - y\cdot e^y$$d.h. diese besagte Fläche ist nun ein Rechteck. Ein Rechteck deshalb, da sich seine Höhe \(y\) bei einem konstanten \(y\) nicht ändert. Dieses Rechteck steht zwar senkrecht zur Ebene, aber liegt horizontal oben im Bild. Und seine Kante, mit der es auf der Ebene steht, verläuft von der blauen Kurve \(x=e^y\) bis zur grünen Senkrechten \(x=e\).

Nachtrag:

die Integrationsreihenfolge - insbesondere bei so einem Volumenintegral - gibt nur an, welche 'Scheiben' zuerst berechnet werden. Beginnt man mit der Integration über \(y\), dann wird zuerst in Y-Richtung geschnitten ...

blob.png

... so wie oben zu sehen. Über dem grünen Gebiet wird das 'Volumen' darüber in Scheiben geschnitten, die parallel zur YZ-Ebene stehen. DIe innere Integration berechnet die Fläche der Scheiben in Abhängigkeit von \(x\). Die äußere Integration gibt ihnen die Dicke \(\text dx\) und zählt die Scheiben zum Volumen zusammen.

Beginnt man mit der Integration über \(x\) ....

blob.png

.... so stehen die Scheiben parallel zur XZ-Ebene. In diesem Fall ist das immer ein Rechteck der 'Höhe' \(y\), aber die Länge des Rechtecks ist von \(y\) abhängig und beträgt hier \(e-e^y\). Die äußere Integration über \(y\) gibt den Scheiben dann die Dicke \(\text dy\) und addiert sie von \(y=0\) bis zur letzten Scheibe bei \(y=1\).

Wichtig: zunächst muss das Gebiet, über dem integriert wird, bekannt sein. Und erst im zweiten Schritt legt man in Abhängigkeit des Gebiets und der Funktion \(f\) die erste und zweite Integrationsrichtung fest. Und dabei fallen dann automatisch die Grenzen ab.

Frag' ruhig nach, wenn noch was unklar ist.

Gruß Werner

PS.: die Bilder oben sind wie immer zum Anklicken. Dahinter steckt dann Geoknecht3D, womit man sich das alles quasi wie in 3D betrachten kann.

Avatar von 48 k

Vielen Dank, mir ist leider noch nicht so klar, kann man die grezen nicht aussrechnen nach schema f?

kann man die Grenzen nicht aussrechnen nach Schema F?

Na ja - die braucht man nicht ausrechnen, weil sie sind ja gegeben (s. Plot und Deine Aufgabenstellung)

Ist Dir klar, dass das Integral nur eine Summe über beliebig kleine Teilsummanden ist? Somit setzt sich ein Volumen aus unendlich vielen infinitesimal dünnen Scheiben zusammen. Und wie Du das Volumen in Scheiben schneidest, bleibt Dir überlassen.

Du könntest das auch unter 45° im Uhrzeigersinn gedreht aufschneiden und damit beliebig kompliziert machen.

Wie würdest du es man wenn ein INtegral von 1 bis e geht und das andere von lnx bis y dy dx?

Wie würdest du es man wenn ein INtegral von 1 bis e geht und das andere von lnx bis y dy dx?

meinst Du ?$$\int_{x=1}^e \int_{y=\ln(x)}^yf(x,y)\,\text dy\,\text dx$$dann müsstes Du zunächst nach \(y\) integrieren$$\dots = \int_{y=\ln(x)}^yf(x,y)\,\text dy = \left[F_y(x,y)\right]_{\ln(x)}^y = F_y(x,y) - F_y(x,\ln(x))$$und \(y\) wäre dann ein freier Parameter. Und anschließend kannst Du über \(x\) integrieren, und dabei \(y\) wie eine Konstante behandeln. Das bedeuet, dass das Gebiet nach 'oben' durch ein konstantes \(y\) abgeschlossen ist (bzw. sein muss).

Nachtrag hinzu gefügt (s.o. Antwort)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community