Bestimmen Sie die Steigung der Umkehrfunktion.

Question

Aufgabe:

1) Überprüfen Sie ob die folgende Funktion eine Umkehrfunktion besitzt(injektiv, surjektiv, bijektiv)

2) Bestimmen Sie die Steigung der Umkehrfunktion.

f(x) = 3x³ +2x

Ich habe leider keine Ahnung wie dies lösen kann

Answer 1

Wegen f'(x)>0 ist f streng monoton steigend. Da sie zudem unbeschränkt ist, ist sie bijektiv. Daher besitzt f eine Umkehrfunktion, die wir mal mit g bezeichnen wollen. (Diese genügt der Gleichung g:x=f(y), die Auflösung nach x ist jedoch nicht gesucht.) Die Steigung in (y|x)=(5|1) müsste, wenn ich mich nicht verrechnet habe, g'(5)=1/f'(1)=1/11 betragen.

Comments

wie kommste auf die Formel?

Answer 2

2)

x= 3y^3+2

3y^3 =x-2

y^3 = (x-2)/3

y= ((x-2)/3))^(1/3)

y' = 1/3*((x-2)/3))^(-2/3) *1/3 = ...

Comments

dah at noch ein x gefehlt bei 2

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Dann wirds komplizierter:

x= 3y^3+2y

3y^3+2y-x =0

Das geht nur mit Cardano:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

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Soll vielleicht die Steigung der Umkehrfunktion nur an einer bestimmten
stelle berechnet werden?

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ja an P(y/x) = P(5/1)

Answer 3

Könntest du probieren die Funktion

y = 3·x^3 + 2

nach x aufzulösen. Dann hättest du ja fast die Umkehrfunktion oder nicht?