Berechnen Sie Bild und Kern der Abbildung

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Abbildung f: ℤ×ℤ → ℤ, (a,b)↦4a-6b

Berechnen Sie Bild und Kern der Abbildung

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier bitte einer weiterhelfen? Ich hab noch nicht so ganz verstanden wie das funktioniert

Answer 1

Hallo,

für den Kern suchst alle Tupel \((a,b)\), so dass \(4a-6b=0\), d. h. $$\operatorname{ker}(f)=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \mid 4a-6b=0\}$$ Das ist eine lineare diophantische Gleichung, die für \((a,b)=(3k,2k)\) (wobei \(k\in \mathbb{Z}\)) erfüllt ist. Also:$$\operatorname{ker}(f)=\{(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}: 4a-6b=0\}=\{(3k,2k)\mid k\in \mathbb{Z}\}$$ Für das Bild \(\operatorname{Bild}(f)=\{4a-6b \mid (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\}\) musst du dich fragen, für welche \(c\in \mathbb{Z}\) die Gleichung \(4a-6b=c\) erfüllt wird, d. h. welche Zahlen du durch die Linearkombination ansprechen kannst. Dies ist genau dann der Fall, wenn \(c\) durch \(\operatorname{ggT}(4,6)=2\) teilbar ist, also gilt:$$\operatorname{Bild}(f)=\{4a-6b \mid (a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\}=2\mathbb{Z}=\{2z : z\in \mathbb{Z}\}$$

Comments

danke für die Antwort. Ich verstehe gerade nicht so ganz wie man Zahlen wie 1 oder -1zum Beispiel "ansprechen" soll.

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Habe die Antwort ergänzt!

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Ich hatte das eben nicht richtig. Du kannst durch die Differenz zweier gerader Zahlen auch nur gerade Zahlen erhalten.

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Vielen Dank für die Hilfe

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Gerne, kein Problem.