Berechnen Sie für die Permuation \sigma \circ \tau die disjunkte Zykelzerlegung sowie das Signum und die Ordnung.

Question

Aufgabe:

ich bereite mich momentan mit Aufgaben von Altklausuren auf die Prüfung vor, hier weiß ich allerdings nicht weiter. Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

(a) Betrachten Sie die Permutationen
\( \sigma=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 3 & 1 \end{array}\right), \tau=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \end{array}\right) \in S_{5} \text { . } \)
Berechnen Sie für die Permuation \( \sigma \circ \tau \) die disjunkte Zykelzerlegung sowie das Signum und die Ordnung.
(b) Sei \( \sigma \in S_{n} \) (mit \( n \in \mathbb{N}_{>0} \) ) gegeben. Zeigen Sie, dass die Menge
\( U_{\sigma}:=\left\{\tau \in S_{n} \mid \sigma \circ \tau=\tau \circ \sigma\right\} \subset S_{n} \)
eine Untergruppe von \( S_{n} \) ist.
(c) Berechnen Sie die Ordnung der Untergruppe \( U_{(12)} \leq S_{5} . \) Hinweis: Sei \( \left(a_{1} \ldots a_{m}\right) \in S_{n} \) ein Zykel und \( \pi \in S_{n} \). Sie dürfen verwenden, dass gilt \( \pi \circ\left(a_{1} \ldots a_{m}\right) \circ \pi^{-1}=\left(\pi\left(a_{1}\right) \ldots \pi\left(a_{m}\right)\right) \).

Answer 1

Wo genau liegt denn genau dein Problem?

a) \(\sigma o \tau=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{array}\right) \) = (1 3)(2 4 5)

Das signum wäre dann (-1)¹ *  (-1)² = -1.

Die Ordnung wäre 2*3 = 6.

Das ist doch eigentlich nur reines Anwenden der (irgendwo) definierten Regeln.

Bei der b gehst du die Untergruppenkriterien komplett durch.

Comments

Hey Tankoffline, erstmal danke für die Hilfe. Das Problem lag bei mir eher bei der b und c da ich die Definition von U_σ nicht wirklich verstehe und daher nicht weiß wo ich mit den Untergruppenkriterien anfangen soll.

Bei der c ist das Problem das ich mit dem Hinweis ehrlich gesagt nichts anfangen kann und nicht wirklich verstehe was mit U₍₁₂₎ ≤ S₅ gemeint ist.

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b) Na ja, du hast irgendeine Permutation gegeben. Und U_sigma enthält jetzt alle tau, für die gilt: sigma o tau = tau o sigma.

Also zeigst du, warum das neutrale Element e, dass alle n auf sich selbst abbildet, diese Bedingung erfüllt. Das dürfte klar sein. tau = e ( für das besipiel n = 5)

\(\sigma o \tau=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4) & \sigma(5) \end{array}\right) \) * \(\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 &4 & 5 \end{array}\right) \) = \(\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 &4 & 5 \end{array}\right) \) * \(\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4) & \sigma(5) \end{array}\right) =\tau o \sigma\).

Warum dass das gleiche ist sollte klar sein. Allgemien gilt das natürlich einfach, weil das neutrale element wegfällt und dann da einfach sigma=sigma steht.

Jetzt zeigst du noch, wenn du tau und tau' die die Bedingung erfüllen nimmst, warum dann auch tau o tau' die bedingung erfüllt und wenn tau die bedingung erfüllt, warum tau^-1 die bedingung erfüllt. und schon bist du fertig.