Wir nennen eine Folge \(a_n\) monoton fallend, wenn \(a_{n} > a_{n+1}\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt. Hier ist unsere Folge \(a_n = \frac{n}{3^n}\). Plotten wir die Folge,
können wir sehen, dass die Folgenglieder einen immer kleineren Wert annehmen. Formal können wir es beweisen, indem wir zeigen, dass
\(\frac{n}{3^n} > \frac{n+1}{3^{n+1}}\) bzw., wenn wir das umformen, \(3 > \frac{n+1}{n}\) für alle \(n \in \mathbb{N}_\geq 1\).
Ich habe hier das Leibnizkrit.: \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n c_n} \). Wie muss ich das jetzt damit ausrechnen bzw. was muss ich anstelle des \(c_n\) eingeben?
Du rechnest hier gar nichts aus. Das ist ja gerade das besondere an dem Leibniz-Kriterium. In seiner vollen Länge lautet das Kriterium
Sei \((c_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^nc_n\).
Es genügt also zu zeigen, dass \( a_n = \frac{n}{3^n} \) eine monoton fallende Folge ist und gegen \(0\) konvergiert. Sind diese beiden Eigenschaften der Folge gegeben, liefert uns dieses Kriterium, dass dann die Reihe konvergieren muss.
Wie du aber sicherlich merkst, ist dein Quotientenkriterium hier ein schnellerer und einfacherer Weg. Es gibt aber auch alternierende Reihen, wo die Folgenglieder dann nicht mehr so einfach mit dem Quotientenkriterium zu berechnen sind - da hilft uns dann das Leibniz-Kriterium. Deshalb wollte ich es dir mal gezeigt haben.
