Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt:

(x₁, x₂) ~ (y₁, y₂) ⇔ x₁ · y₁ = x₂ · y₂

Ansatz:

reflexiv: (x₁, x₂) ~ (x₁, x₂) ⇔ x₁ ·  x₁ = x₂ · x₂

⇒ x₁ =  x₂ oder x₁ = - x₂

symmetrisch: (x₁, x₂) ~ (y₁, y₂) ⇒ (y₁, y₂) ~ (x₁, x₂)

Gilt da · kommutativ ist

transitiv: (x₁, x₂) ~ (y₁, y₂) und (y₁, y₂) ~ (z₁, z₂) ⇒ (x₁, x₂) ~ (z₁, z₂)

Bei reflexiv und transitiv fehlt mir eine wirkliche Begründung warum es gilt. Hat vielleicht einer von euch eine Idee wie man das zeigen kann?

Comments

Wäre die Relation stattdessen so definiert:

\((x_1,x_2)\sim(y_1,y_2)\iff x_1y_2=x_2y_1\),

dann sähe die Sache besser aus !

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Ich habe unten als Kommentar auf die Antwort mal die gesamte Aufgabenstellung geschrieben wie sie in der Altklausur gegeben ist.

Answer 1

Hallo :-)

in welcher Menge leben deine Zahlen? Betrachtet man zb ,,nur" die natürlichen Zahlen, dann ist schon die Reflexivität verletzt.

Beispiel: Mit \((1,2)\in \mathbb{N}^2\) ist \(1=1\cdot 1\neq 2\cdot 2=4\), sodass \((1,2) \not\sim (1,2)\).

Comments

Die vollständige Aufgabenstellung sieht so aus:

Aufgabe 2

Geg.: \( \sim:\left(x_{1}, x_{2}\right) \sim\left(y_{1}, y_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1} * y_{1}=x_{2} * y_{2} \)

a. Zeigen sie, dass ~ eine Äquvivalenzrelation ist

b. Gegeben sind [(0,0)]; [(1,1)]; [(1, -1)] - geben sie die Äquvivalenzklasse eine Skizze an

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Du hast es wieder falsch hingeschrieben. ^^ Du meinst wohl:

\( \sim:\left(x_{1}, x_{2}\right) \sim\left(y_{1}, y_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1} * y_{2}=x_{2} * y_{1} \)

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Wie gesagt, das was ich geschrieben hab ist die Version der Altklausur.

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Ich habe den Eindruck, dass da die Aufgabenstellung bereits falsch ist,
der Aufgabensteller hat da wohl 2 verschiedene Aufgaben miteinander
kaputtgemixt:

a) kann man nicht zeigen, da es falsch ist (siehe die Antwort von hallo97

und

b) passt überhaupt nicht zu DIESER Relation,
wohl aber zu der "von hallo97 vorgeschlagenen".

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Was meinst du denn wie es lauten sollte?

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Es müsste so lauten, wie hallo97 es geschrieben hat.
Vermutlich soll die Relation eine Teilmenge von \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\)
sein. Man müsste aber wohl das Paar \((0,0)\) noch herausnehmen, da sonst
alle Paare mit \((0,0)\) äquivalent wären.

Ändert man die Aufgabe entsprechend, kann man auch erfolgreich b)
bearbeiten.

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Hallo, wie würde man denn die transitivität zeigen, wenn die Aufgabenstellung die von hallo97 wäre?