Maximum- und Minimumstelle von f(x)= 2ln(x2 +3)-x

Question

Aufgabe:

Maximum- und Minimumstelle von f(x)= 2ln(x^2 +3)-x

Problem/Ansatz:

ich habe zwei mal abgeleitet, aber die erste Ableitung ungleich null ist.

ich weiß nicht wie soll ich weiter machen

erste Ableitung ist (4x/(x^2 +3)) -1

zweite Ableitung ist (-4x^2+12) /(x^2+3)^2

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=2\ln\left(x^2+3\right)-x$$$$f'(x)=\frac{4x}{x^2+3}-1$$$$f''(x)=\frac{4(x^2+3)-4x\cdot2x}{(x^2+3)^2}=\frac{12-4x^2}{(x^2+3)^2}$$

Kandidaten für Extrema sind die Stellen, bei denen die erste Ableitung verschwindet:

$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{4x}{x^2+3}-1=\frac{4x-x^2-3}{x^2+3}=-\frac{(x-1)(x-3)}{x^2+3}$$Die Kandidaten sind also:$$x_1=1\quad;\quad x_2=3$$

Die Art des Extremums folgt mit der zweiten Ableitung:

$$f''(1)=\frac{12-4}{(1+3)^2}>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$$$f''(3)=\frac{12-36}{(1+3)^2}<0\quad\implies\quad\text{Maximum}$$

~plot~ 2*ln(x^2+3)-x ; {1|2*ln(4)-1} ; {3|2*ln(12)-3} ; [[0|5|0|3]] ~plot~

Answer 2

Deine Ableitungen sind richtig. Setze die erste Ableitung gleich Null, um die Extrema zu finden.

(Ich komme auf die Lösungen x = 1 und x = 3).

Comments

seit einen Stunden probiere ich.

x^2 +3 ist ungleich null

dann bleibt 4x=0 => x=0 und das ist auch falsch

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(4x/(x² +3)) - 1 = 0                      + 1

(4x/(x² +3)) = 1                           * (x² + 3)

4x = (x² +3)                                - 4x

x² - 4x + 3 = 0                             Löse diese quadratische Gleichung.

Answer 3

\( f(x)=2 \ln \left(x^{2}+3\right)-x \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{4 x}{x^{2}+3}-1 \)
\( \frac{4 x}{x^{2}+3}-1=0 \mid \cdot\left(x^{2}+3\right) \)
\( 4 x-x^{2}-3=0 \)
\( x_{1}=1 \rightarrow y_{1}=\ldots \)
\( x_{2}=3 \rightarrow y_{2}=\ldots \)
Nun mit der 2 .Ableitung die Art des Extremwerts bestimmen.