geeignete Transormationsmatrix zum Diagonalisieren finden

Question

Aufgabe: Matrix A diagonalisieren: \( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich schaffe es nicht, diese Matrix zu diagonalisieren.

mit der Formel C^T * A * C und für C₁ = \( \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

kriege ich \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & -7 & -12 \\ 4 & -12 & 5 \end{pmatrix} \)  raus.

Mit C₂ = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) erhalte ich \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & -12 \\ 0 & -12 & -11 \end{pmatrix} \) raus.

Nun muss noch die -12 weg, aber ich weiß einfach nicht wie. Auf die C-Transformationsmatritzen kommen wir laut Professor mit dem Gauß-Algorithmus. Aber ab diesem Schritt hänge ich. Und in der Klausur haben wir auch keinen Taschenrechner. Gibt es hier irgend einen Trick?

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

ich werde aus Deiner Frage nicht schlau, welches Verfahren dort verwendet wird. I.A. wird eine Matrix diagonalisiert, indem Du die Matrix \(S\) bestehend aus ihren Eigenvektoren berechnest. Ich habe da$$S = \begin{pmatrix}-1.9692& -0.5172& 0.7364\\ 1.2114& -1.6663& 0.3716\\ 1& 1& 1\end{pmatrix}$$was aber ziemlich krumme Werte sind. Das kommt als Aufgabe eher selten vor ... ist Deine Eingangsmatrix korrekt$$A = \begin{pmatrix}1& 3& 4\\ 3& 2& 0\\ 4& 0& 5\end{pmatrix} \quad ?$$Und als Ergebnis habe ich$$D = S^{-1} \cdot A \cdot S \approx \begin{pmatrix}-2.8768& 0& 0\\ 0& 2.9312& 0\\ 0& 0& 7.9456\end{pmatrix}$$

Welches Verfahren benutzt Du ?

Nachtrag:

Nun muss noch die -12 weg, aber ich weiß einfach nicht wie.

wenn Du so weiter machst, dann ist $$C_3 = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& -12/7  \\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$dann komme ich auf$$C_3^T\cdot C_2^T\cdot C_1^T \cdot A \cdot C_1\cdot C_2\cdot C_3 = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& -7& 0\\ 0& 0& 67/7  \end{pmatrix}$$wie rechnet man das aus. Die Matrix \(C_3\) sieht doch so aus$$C_3 = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1&x \\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$und das Element \(x\) ist noch unbekannt. Dann rechne ich das mal durch$$\phantom{=}\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0 \\ 0& x& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& -7& -12\\ 0& -12& -11\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1&x \\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& -7& -12\\ 0& -7x-12& -12x-11\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1&x \\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& -7& -7x-12\\ 0& -7x-12& (-7x-12)x -12x-11\end{pmatrix}$$und um die Elemente außerhalb der Diagonalen zu \(0\) zu bekommen, muss doch $$-7x-12 = 0 \\ \implies x = -\frac {12}7$$sein.

Gibt es hier irgend einen Trick?

Ja - immer das negative aktuelle Element dividiert durch das Element auf der Hauptdiagonale der gleichen Zeile in \(C\) einsetzen.

Alles klar?

Gruß Werner

Comments

Die Matrix ist korrekt. Das Verfahren wird symmetrische Umformungsmethode genannt, aus dem Buch von Fischer.

Man nimmt eine erweiterte Elementarmatrix mit der man A multipiziert, von rechts dran. Und diese Elementarmatrix transponiert von links dran. Das entspricht Zeilen und Spaltenumformungen. Das macht man dann jeweils mit mehreren Elementarmatritzen bzw. Transformationsmatritzen, bis eine Diagonalmatrix rauskommt.

Ich muss nochmal nachrechnen, aber ich glaube, ich habe die Lösung.

C3 = ((1 0 0), (0 1 0), (0 7/12 1)). Wenn man diese von rechts un c3 transponiert von links dranmultipliziert, sollte die Diagonalmatrix rauskommen. Zu Hause rechne ich nach.

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Ja ... ich habe inzwischen etwas rum gerechnet (s.o. Nachtrag) und bin auf einen Lösung gekommen. Ich kannte das Verfahren noch nicht ;-)

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Hi :)

Kannst du mir bitte bei meiner neusten Frage helfen(Dgl 2.Ordnung ; Schwingung Federpendel)

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Kannst du mir bitte bei meiner neusten Frage helfen(Dgl 2.Ordnung ; Schwingung Federpendel)

Oh je - das ist 'ne Menge Arbeit! heute nicht mehr, ich wollte gerade Schluß machen

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Alter falter, wir haben noch eine Aufgabe, mit folgender Matrix, bei der diese Umformungsmethode mir ab C2 riesige Brüche liefert, wenn ich den Trick anwende. Da kann ja irgendetwas nicht stimmen. Oder ich verrechne mich andauernd...

\( \begin{pmatrix} -23 & -2 & -3/2 \\ -2 & 2 & 3/2 \\ -3/2 & 3/2 & -2 \end{pmatrix} \)

Das ist der reinste Horror. Ich glaube, es muss auch noch einen Trick geben, welche Zahl man in welcher Reihenfolge man zuerst eliminiert, oder was sagst du dazu? Ich habe immer mit der -2 angefangen, und dann eben C1 als Elementarmatrix mit -2/23 gewählt. Für C2 dann schon -3/46 und für C3 75/184. Aus welchem Grund auch immer wird bei der Lösung vom Professor aus der -23 irgendwann eine -25, aber er geht beim diagonalisieren auch anders vor, als mit dem "Trick"...

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Hier wird wiederum anders vorgegangen: diese Matrix wird als C1 gewählt: \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3/4 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). Er berechnet also zuerst Spalte 3 - 3/4 * Spalte 2.

A * C1 ergibt dann \( \begin{pmatrix} -23 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -3/2 & 3/2 & -25/8 \end{pmatrix} \). Und das nochmal mal C1 transponiert: \( \begin{pmatrix} -23 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -25/8 \end{pmatrix} \).

Und dann wird die erste Spalte mit der zweiten addiert (bei C1), somit erhalten wir C2:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -3/4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

A * C1 * C2 ergibt: \( \begin{pmatrix} -25 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -25/8 \end{pmatrix} \).

Und die Diagonalmatrix nach Multiplizieren mit C2 transponiert ergibt:

\( \begin{pmatrix} -25 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -25/8 \end{pmatrix} \) = B

Das ging also deutlich schneller, als auf meinem Weg. Hier habe ich beobachtet, dass die Elementarmatrix C2 durch Spaltenumformungen von C1 entsteht.

Hier wird der Trick von oben, der anderen Aufgabe, also nicht angewendet. Warum und wieso, wann man welchen Weg anwendet, erkenne ich aber noch nicht. Man braucht wohl einen verdammt scharfen Blick, um zu erkennen, dass es Sinn macht, Spalte 3 - 3/4 * Spalte 2 zu rechnen, und somit sofort viele Nullen erhält...

Vielleicht hast du ja etwas an dem Ganzen beobachtet, was mir weiterhilft. VIelleicht ein anderer Trick.

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Dann hast Du vor ein paar Tagen aber Unsinn erzählt

https://www.mathelounge.de/865570/umformungsmethode-hauptachsentransformation-diagonalmatrix#c865581

Es isr aber auch klar, dass dann kein eindeutigs Ergebnis entsteht. Es hängt von Weg ab, was hinten raus kommt....

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Wieso denn Unsinn? Nun ja, wir haben Aufgaben des gleichen Typs inkl. Lösung zur Verfügung. Bei dieser Aufgabe jetzt wurden die Transformationsmatritzen eben so erschaffen, was mich eben verwirrt. Mal so, mal so. Vielleicht sind es ja zumindest etwas unterschiedliche Verfahren/Vorgehensweisen?

Wenn es vom Weg abhängt, was hinten rauskommt, müssten aber am ende beide Ergebnisse(Diagonalmatritzen?) das selbe aussagen, oder?

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Zitat:

>Sorry, ich hätte erwähnen sollen, dass am Ende eine Diagonalmatrix der Form \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & * \\ 0 & * & 0 \\ * & 0 & 0 \end{pmatrix} \) rauskommen soll. <

Außerdem hätte ich ja dann ein korrektes Ergebnis vorgeschlagen, oder?

Wie gesagt ist kenne das Verfahren nicht und wenn es eine Art HAT sein soll macht es z.B. aus einen Ellipsoid eine Kugel?

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das ist doch egal, ob am ende eine Diagonalmatrix von links oben nach rechts unten oder anders rum verlangt wird. Dann muss man doch einfach an anderen Stellen die Nullen erzeugen. Aber das Verfahren ist doch das selbe. Nein, wir bringen die Matrix in Diagonalmatrixform, um die Quadrik später bestimmen zu können.

Was mich verwirrt ist, dass der Tipp von Werner doch eigentlich funktionieren müsste: "Ja - immer das negative aktuelle Element dividiert durch das Element auf der Hauptdiagonale der gleichen Zeile in \(C\) einsetzen."

Das ist doch eigentlich das selbe wie Gauß, was der Professor macht, und diese Spalteumformung ist doch eigentlich auch Gauß, nur eben nicht mit Gauß-Schema notiert. Also müsste ich doch eigentlich mit dem Tipp von Werner auf die selben Matritzen wie vom Prof kommen, oder nicht? Ist das nicht auch Gauß?

Gibt es denn nicht immer nur genau eine Zahl, mit der man dann quasi in C an die Matrix A ranmultipliziert, sodass an einer bestimmten Stelle in A eben eine Null erzeugt wird? Da kann es doch immer nur eine Möglichkeit geben, oder nicht?

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Wenn man gewollt hätte, die Diagonalmatrix von links oben nach rechts unten zu erstellen, dann ja, wäre dein Ansatz richtig gewesen, denke ich.

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Was mich verwirrt ist, dass der Tipp von Werner doch eigentlich funktionieren müsste:

tut er auch! Nur da oben links in der Matrix eine 23 steht (durch die geteilt wird), kommt man da auf ziemlich krumme Zahlen. Aber am Ende steht eine Diagonalmatrix da!

Ist das nicht auch Gauß?

Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren hat das IMHO erstmal nichts zu tun.

Da kann es doch immer nur eine Möglichkeit geben, oder nicht?

Genau das ist wohl nicht der Fall. Zumindest gibt es sicher mehr als eine Möglichkeit bei symmetrischen Matrizen eine Diagonalform zu erzeugen. Wenn Du Dir Dein erstes Beispiel anschaust, so kommen mit dem Verfahren von Fischer ganz andere Matrizen \(S\) und \(D\) heraus, wie mit den Eigenwerten.

Und mit Deinem letzten Beispiel$$A = \begin{pmatrix}-23& -2& -1.5\\ -2& 2& 1.5\\ -1.5& 1.5& -2\end{pmatrix}, \quad D = C^T \cdot A \cdot C $$Bekomme ich$$D = \begin{pmatrix}-25& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -3.125\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 1& 1& -0.75\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$oder auch$$D= \begin{pmatrix}-23& 0& 0\\ 0& 50/23& 0\\ 0& 0& -3.125\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}1& -2/23& 0\\ 0& 1& -0.75\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}$$

Rechne es doch mal ganz allgemein durch, was bei dem von mir erwähnten 'Trick' geschieht. Mal angenommen Du wählst in \(C_i\) die Position \(a_{21}\) in einer 3x3-Matrix. Dann ergibt sich folgendes Bild:$$\phantom{=}\begin{pmatrix} 1& x& 0 \\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a & b & c \\ {\color{red}b} & {\color{red}d} & e\\ c& e& f \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ x& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} a+bx & b+dx & c+ex \\ b & d & e\\ c& e& f \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ x& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix}\\ = \begin{pmatrix} \dots & b+dx & c+ex \\ b+dx & d & e\\ c+ex& e& f \end{pmatrix}\\\implies x = -\frac bd$$Setzt Du \(x\) auf den gegebene Wert, so werden die Elemente \(a_{21}\) und \(a_{12}\) zu \(0\).

Das kannst Du für alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonalen stehen, durch rechnen. Und dann siehst Du auch die Gesetzmäßigkeit.

Für das Element \(a_{23}\) sähe es so aus:$$\phantom{=}\begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0\\ 0& x& 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & {\color{red}d} & {\color{red}e}\\ c& e& f \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& x\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e\\ bx+c& dx+e& ex+f \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& 0& 0 \\ 0& 1& x\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} a & b & bx+c \\ b & d & dx+e\\ bx+c& dx+e& \dots \end{pmatrix} $$

Oder ich verrechne mich andauernd..

Tipp: Du kannst Matrizenrechnung mit konkreten Zahlen auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm durchführen. Dann hast Du's wesentlcih leichter.

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Zum Rechnen

https://www.geogebra.org/m/yygxzq8p

(noch nicht ganz fertig)

A:={{1, 3, 4}, {3,2,0}, {4,0,5}}

Reihenfolge:={1,-1,2,-2,3,-3};

P:{{3, 2, -12 / 7}, {3, 1, -4}, {2, 1, -3}}, Zeilen-Operationen von rechts nach links

Q:{{1, 2, -3}, {1, 3, -4}, {2, 3, -12 / 7}}, Spalten-Operationen von links nach rechts

Habe Fertig:

\(\tiny \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&3&4\\3&2&0\\4&0&5\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&-3&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \Pi, \left(\begin{array}{rrr}1&0&4\\0&-7&-12\\4&-12&5\\\end{array}\right)  \right\}_{j=2} \)

\(\tiny \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\-4&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&4\\0&-7&-12\\4&-12&5\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&-4\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right), \Pi, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-7&-12\\0&-12&-11\\\end{array}\right) \right\}_{j=4} \)

\(\tiny \left\{ \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{-12}{7}&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-7&-12\\0&-12&-11\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&\frac{-12}{7}\\0&0&1\\\end{array}\right), \Pi, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-7&0\\0&0&\frac{67}{7}\\\end{array}\right) \right\}_{j=6} \)

nachtrag, von wegen egal diagonale:

das verfahren funktioniert genau deshalb, weil die matrix symmetrisch zur hauptdiagonalen ist.

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@Werner-Salomon. Die zweite von dir angegebene Matrix, mit der -23, die würde ich nämlich auch rausbekommen, im Vergleich zum Prof, der die erste von dir angegebene erhält, mit -25. Ich rechne morgen mal so weiter, und schaue, ob ich dann am Ende genau so gut die Quadrik ablesen/bestimmen kann, wie er. Denn der nächste Schritt wird sein, durch eine Umformung die affine Normalform des Kegelschnittes ablesen zu können. Wenn beide Verfahren zur Erzeugung von den Transformationsmatritzen Cn genau so gut funktionieren, dann ist es mir ja recht. Wobei bei dieser Aufgabe jetzt mit der Spaltenumformung vom Prof, es ja zügiger ging und nicht so unschöne Zahlen entstanden sind.

Ich muss ja dann nämlich als nächstes die x-Koordinaten in y-Koordinaten umwandeln mit\( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \) = f^-1 \( \begin{pmatrix} y1\\y2 \end{pmatrix} \) = ... da muss ich dann noch vorher mit dem Endergebnis C, das wo die -0.75 drin steckt, arbeiten... das dann hoch minus eins, Gleichungen aufschreiben, und y-koordinaten zuordnen... um die Affinität zu bestimmen... das Ganze ist ganz schön komplex... zumindest komme ich dem Lichtlein immer näher, bis ich es hoffentlich noch vor der Klausur ganz geschnallt habe :-)

Answer 2

Schau mal dort

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=911fd1d5ae12712f1c1d2dd9cd95e823