Bestimmen von a und g(x)

Question

Gegeben sei eine stetige Funktion f: R² -> R

Bestimmen Sie a und g(x), sodass

gilt.

Dann ist a=____ und g(y)=____

Wie berechne ich das?

Text erkannt:

$\int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{\frac{y}{2}} f(x, y) d x d y=\int \limits_{0}^{a} \int \limits_{g(x)}^{3} f(x, y) d y d x$

Answer 1

Aloha :)

Beim linken Integral wird zuerst bei festgehaltenem $y$ über $dx$ integrierert:$$0\le y\le3\quad;\quad 0\le x\le\frac y2$$Im rechten Integral soll nun bei festgehaltenem $x$ zuerst über $dy$ integriert werden. Dazu überlegen wir uns, dass der größtmöglicher Wert für $x$ bei $y=3$ erreicht wird, daher ist:$$0\le x\le\frac32$$Der Wert für $y$ ist durch $3$ nach oben beschränkt. Multiplizieren wir die zweite Gleichung der ersten Zeile mit $2$, also $0\le2x\le y$ sehen wir, dass $y$ durch $2x$ nach unten beschränkt ist:$$2x\le y\le3$$

Damit haben wir gefunden:$$\int\limits_0^3\int\limits_0^{\frac y2}f(x;y)\,dx\,dy=\int\limits_0^{\frac32}\int\limits_{2x}^3f(x;y)\,dx\,dy$$Es ist also $a=\frac32$ und $g(x)=2x$.

Comments

Ich verstehe nicht ganz wie du oben auf

$0\le y\le3\quad;\quad 0\le x\le\frac y2$    kommst und auf die 2x

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Das folgt aus den Grenzen beim linken Integral. Die Integration über $dx$ geht von $0$ bis $\frac y2$. Die Integration über $dy$ geht von $0$ bis $3$.

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Ah okay und die 2x?

Diese Rechnung habe ich auch nicht so verstanden.

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Wenn du die Ungleichung$$0\le x\le\frac y2$$mit $2$ multiplizierst, bekommst du:$$2\cdot0\le2\cdot x\le2\cdot\frac y2$$und hast damit:$$0\le2x\le y$$

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Ahh okay macht sinn, Dankeschöön!