Bestimme die Darstellungsmatrix M

Question

Aufgabe: Bestimme die Darstellungsmatrix M^B_B (f) von f $$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} • \begin{pmatrix} 2 & π \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ bezuglich der Basis B $$ \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz : Ich habe schon Abbildungsmatrixen mit 2x2 Matrizen verstanden wenn sie durch 4 Einheitsvektoren als Basis gebildet werden jedoch tue ich mir hier mit den 2(2x1 Basen) schwer

Answer 1

Das Produkt

$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} • \begin{pmatrix} 2 & π \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

ist gar nicht definiert.

Wird wohl \( \begin{pmatrix} 2 & π \\ 1 & 0 \end{pmatrix}•\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}  \) sein.

Dann berechne erst mal die Bilder der Basisvektoren:

$$\begin{pmatrix} 2 & π \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-π \\1 \end{pmatrix} $$

$$\begin{pmatrix} 2 & π \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix} $$

Und jetzt diese Bilder mit der Basis darstellen.

$$ \begin{pmatrix} 2-π \\1 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} +(1,5-0,5π) \cdot \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix} $$

und

$$ \begin{pmatrix} 2-π \\1 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} +3 \cdot \begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix} $$

Also ist die Matrix$$\begin{pmatrix} -1  & -2 \\ 1,5-0,5π & 3 \end{pmatrix}$$