Misst Die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Werte vom Mittelwert?

Question

Aufgabe:

Misst Die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Werte vom Mittelwert?

Answer 1

hallo

weisst du wie man die Standardabweichung als Wurzel der Varianz bestimmt? dann ist die Bezeichnung "durchschnittliche Entfernung" falsch da man ja nicht $$\frac{\sum_{i=1}^n |μ-x_i|}{n}$$ berechnet. trotzdem nenne es einige Leute so.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für ihre Antwort!, aber was wäre dann die korrekte Definition?

---

die korrekte Antwort ist Wurzel aus der Varianz also σ

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Nein, die Standardabweichung hat eine andere Bedeutung.

Etwa $\frac23$ aller Messwerte $x_i$ weichen um höchstens eine Standardabweichung $\sigma$ vom Mittelwert $\overline x$ ab. Das heißt, für $\frac23$ aller Messwerte $x_i$ gilt:$$\overline x-\sigma<x_i<\overline x+\sigma$$Man sagt auch: "2/3 (genauer: 68,3%) aller Werte liegen im 1-Sigma-Intervall."

Damit diese Aussage gilt, muss für eine kleine Anzahl $n$ von Messwerten, die sog. "empirische Standardabweichung" mittels$$\sigma^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2$$verwendet werden. Diese berücksichtigt, dass wegen der wenigen Messwerte der Mittelwert $\overline x$ selbst eine nicht zu vernachlässigende Abweichung vom tatsächlichen Ewartungswert $\mu$ hat. Diese Abweichung führt zu einer erhöhten Unischerheit in der Standardabweichung.

Wenn der Erwartungswert $\mu$ exakt bekannt, kannst du die folgende Formel verwenden:$$\sigma^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\mu\right)^2$$

Als Faustregeln gelten übrigens auch noch:

"95,5% aller Werte liegen im 2-Sigma-Intervall $[\overline x-2\sigma\,\big|\,\overline x+2\sigma]$"

"99,7% aller Werte liegen im 3-Sigma-Intervall $[\overline x-3\sigma\,\big|\,\overline x+3\sigma]$"

Comments

Also beschreibt die Standardabweichung die durchschnittliche Abweichung aller gemessenen Werte vom Mittelwert?

---

Mich stört das Wort "Durchschnitt". Wenn du es partout in einem Satz formulieren möchtest, würde ich vorschlagen: "Die Standardabweichung beschreibt den Normalbereich, in dem etwa 2/3 aller Werte liegen."

Mal ein Beispiel dazu. Der durchschnittliche IQ ist 100. Die Standardabweichung beträgt 15. Ein normaler IQ liegt also im Bereich von 85 bis 115. Darunter fallen 2/3 aller Menschen. Links vom Normalbereich gibt es 1/6 Minderbegabte mit einem IQ unter 85 und 1/6 Höherbegabte mit einem IQ größer als 115.

---

Hallo

die 2/3 gelten für Werte die Normalverteilt sind.

lul