Quadrik zu Normalform umformen

Question

Aufgabe: Hauptachsentransformation 6x² +24xy - y² -12x +26y +11 = 0

nach Berechnung der Rotationsmatrix

(S=\( \frac{1}{5} \) ·$$\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$$

und Quadratischen Ergänzung kommt man auf die Form:

= 15·(y₁ +\( \frac{1}{5} \))² -10·(y2 -\( \frac{7}{5} \))² +30 =0 und diese wird umgeschrieben auf :

( \( \frac{y1 +\frac{1}{5}}{2} \))² + ( \( \frac{y2 +\frac{1}{5}}{3} \))² = 1

Problem/Ansatz: Die Umformungsschritte für die Normalform sind mir nicht klar

Answer 1

Eine Zusammenfassung und eine App findest Du unter

https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

gedreht

\(q_D: \, 15 \; x^{2} - 10 \; y^{2} + 6 \; x + 28 \; y = -11\)

Transformation durch quadratische Ergänzung

\(T \, :=  \, \left\{ x = x - \frac{1}{5}, y = y + \frac{7}{5}, 19 \right\} \)

auf

\(q_N: \, 15 \; x^{2} - 10 \; y^{2} = -30\)

Comments

Vielleicht hatte ich meine Frage falsch gestellt aber mir ist nicht klar wie ich auf die Nenner von y1 +1/5 und y2 + 7/5 komme

---

Ajee, mir fällt gerade auf, dass Deine Drehmatrix nicht passt:

Du hast S A S^-1 =D üblich ist S^-1 A S = D

Du müsstes also drehen mit: (x,y) S A S^-1 (x,y) + a S^-1 (x,y) = a_0

kommst Du überhaupt auf die gedrehte Form q_D (oben)?

hast Du dir den Link angesehen?

von q_D mit der quadratischen Ergänzung T zu q_N

! je nach Eigenvektoren können x,y,Vorzeichen getauscht sein!

z.B.

---

Ich hab meine Eigenvektoren mit jeweils einmal 3 und 4 multipliziert, dass ich sie mit dem selben Faktor normieren konnte und ich komme schon auf die q_D Form aber ja hab auch jetzt verstanden dass durch die quadratische Ergänzung nur noch das x da steht,

Danke