Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Beispiel 5.
Sei X eine Menge und R die durch
ARB ⇔ (A = B) ∨ (A = X \ B)
definierte Relation auf P(X). Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

Beispiel 6.
Sei R die durch
xRy ⇔ (x^2+2)*(y+1) = (y^2+2)*(x+1)

definierte Relation auf R.
(a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Bestimmen Sie für jedes x ∈ R die Anzahl Elemente in der Äquivalenzklasse [x].

Danke im Voraus

Answer 1

Beispiel 6:

Die Äquivalenzeigenschaft hat bereits das Gleichheitszeichen und daher auch die Relation R, die ja mit Hilfe des Gleichheitszeichens zwischen zwei symmetrischen Termen definiert ist

Comments

Könntest du mir diese Argumentation bitte etwas näher erläutern ?

Answer 2

Die Relationsgleichung lässt sich (wenn weder x+1 noch y+1 Null sind) umstellen zu

(x^2+2)/(x+1) = (y^2+2)/(y+1)

Wenn auch noch yRz gilt, kann diese Gleichung entsprechend als

(y^2+2)/(y+1)=(z^2+2)/(z+1) geschrieben werden.

Aus (x^2+2)/(x+1) = (y^2+2)/(y+1) und (y^2+2)/(y+1)=(z^2+2)/(z+1) folgt selbstverständlich

(x^2+2)/(x+1)=(z^2+2)/(z+1)

Der mögliche Fall x=-1 führt (x^2+2)*(y+1) = (y^2+2)*(x+1) sofort auf (x^2+2)*(y+1)=0 und damit auch auf y=-1, was zwangsläufig auch z=-1 induziert.