Wie hoch sind die minimalen Kosten bei dieser Aufgabe

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Aloha :)

Wir sollen die Kosten $C(K;L)$ unter einer konstanten Nebenbedingung $F(K;L)$ minimieren:$$C(K;L)=9K+12L\to\text{Min}\quad;\quad F(K;L)=KL^3=950$$In einem Extremum muss nach Lagrange der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor $\lambda$ ist der sog. Lagrange-Multiplikator.$$\operatorname{grad}C(K;L)=\lambda\operatorname{grad}F(K;L)\quad\implies\quad\binom{9}{12}=\lambda\binom{L^3}{3KL^2}$$Wir dividieren die Gleichung der 2-ten Komponente durch die Gleichung der 1-ten Komponente:$$\frac{12}{9}=\frac{\lambda\cdot3KL^2}{\lambda\cdot L^3}=\frac{3K}{L}\quad\implies\quad L=\frac{9}{12}\cdot3K=\frac94K$$Das setzen wir in die Nebenbedingung ein, um $L$ zu bestimmen:$$950=KL^3=K\cdot\frac{9^3}{4^3}K^3=\frac{729}{64}K^4\quad\implies\quad K^4=950\cdot\frac{64}{729}=\frac{60\,800}{729}$$

Damit haben wir $K$ und $L$ gefunden:$$K=\sqrt[4]{\frac{60\,800}{729}}\approx3,021997\quad;\quad L=\frac94K\approx6,799493$$Die optimalen Kosten liegen bei:$$C_{\text{min}}=9\cdot3,021997+12\cdot6,799493\approx108,79\,\mathrm{GE}$$