Taylorreihe 2x und Grenzwert

Question

Aufgabe:

a) Sei f: ℝ -> ℝ mit f(x) = 2^x. Zeigen Sie, dass f im Punkt x = 0 die Taylorreihe T(x,0) = $\sum\limits_{k=0}^{\infty}{}$ $\frac{(log(2))^k}{k!}$x^k besitzt und dass f(x) = T(x,0) für alle x ∈ ℝ gilt.

b) Berechnen Sie mit Teil a) den Grenzwert $\lim\limits_{n\to\infty}$ n(2^1/n-1)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktion für Teil a) mehrfach abgeleitet und kam letztendlich auf die Schlussfolgerung, dass fⁿ(x) = ln(2)ⁿ * 2^x ist. Eingesetzt in die Taylorformel mit x₀ = 0 kam ich auf die in a) genannte Taylorreihe.

Wie kann ich nun mit dem gewonnenen Wissen den Grenzwert berechnen?

Answer 1

Aloha :)

Die Taylorreihe folgt sofort aus der Reihendarstellung der Exponentialfunktion:$$e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\quad\implies\quad f(x)=2^x=e^{x\ln(2)}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(x\ln(2))^k}{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\ln(2)^k}{k!}\,x^k$$

Damit kannst du den gesuchten Grenzwert wie folgt bestimmen:

$$\phantom{=}n\left(2^{1/n}-1\right)=n\left(\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\ln(2)^k}{k!}\left(\frac1n\right)^k-1\right)$$$$=n\left(\underbrace{\frac{\ln(2)^0}{0!}\left(\frac1n\right)^0}_{=1}+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\ln(2)^k}{k!}\left(\frac1n\right)^k-1\right)$$$$=n\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\ln(2)^k}{k!}\left(\frac1n\right)^k=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\ln(2)^{k+1}}{(k+1)!}\left(\frac1n\right)^k=\ln(2)\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\ln(2)^{k}}{(k+1)!}\left(\frac1n\right)^k$$$$=\ln(2)\left(\underbrace{\frac{\ln(2)^{0}}{(0+1)!}\left(\frac1n\right)^0}_{=1}+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\ln(2)^{k}}{(k+1)!}\left(\frac1n\right)^k\right)=\ln(2)\left(1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\ln(2)^{k}}{(k+1)!}\left(\frac1n\right)^k\right)$$Wegen $k\ge1$ geht für $n\to\infty$ der Faktor $\left(\frac1n\right)^k$ unter der Summe für alle Summanden gegen $0$. Daher konvergiert die ganze Summe gegen $0$ und übrig bleibt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\,n\left(2^{1/n}-1\right)\,\right)=\ln(2)$$

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung! Eines ist mir nicht klar:

Wie bist du von n * $\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{ln(2)^k}{k!}}$ * ($\frac{1}{n}$)^k auf  $\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{ln(2)^k+1}{(k+1)!}}$ * ($\frac{1}{n}$)^k gekommen? Wo ist das n im dritten Schritt hin?

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Ich habe zuerst eine Indexverschiebung gemacht und danach das $n$ unter die Wurzel gezogen. Ich schreibe das mal in einzelnen Schritten auf:

$$\phantom{=}n\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\ln(2)^k}{k!}\left(\frac1n\right)^{k}=n\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\ln(2)^{k+1}}{(k+1)!}\left(\frac1n\right)^{k+1}$$$$=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\ln(2)^{k+1}}{(k+1)!}\left(\frac1n\right)^{k+1}\!\!\!\!\cdot n=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\ln(2)^{k+1}}{(k+1)!}\left(\frac1n\right)^{k}$$