Die Schafe, die Hühner und die Mundharmonika

Question

Aufgabe:

Hey Leute ich habe hier ein Mathe-Rätsel, bei dem ich im Moment nicht weiter komme...

Zwei Hirten treiben ihre x Schafe in die Stadt und verkaufen sie dort für jeweils x Euro. Für den Erlös kaufen sie eine ungerade Anzahl an Hühnern. Ein Huhn kostet 12 Euro. Für den Rest können sie kein Huhn mehr kaufen, aber es reicht genau für eine Gans. Der Hirte, der beim Teilen die Gans erhält, bekommt vom anderen zum Ausgleich dessen Mundharmonika geschenkt, damit am Ende beide den gleichen Gewinn gemacht haben.

Alle Preise sind natürliche Zahlen.

Nun soll ich sagen wie viel die Mundharmonika gekostet hat.

Was ich bereits habe ist:

Erlös der Schafe: \( x^{2} \) und Preis g der Gans: 0 < g = \( x^{2} \) (mod 12) < 12

Wert m der Mundharmonika: m = \( \frac{12-g}{2} \)

Nun habe ich eine Tabelle angefertigt mit den möglichen Lösungen, wenn man \( x^{2} \) (mod 12) rechnet. Dann erhält man als mögliche Lösungen 0, 1, 4 und 9. Die 0 fällt weg, da g>0. Nun ist es so, dass 1 und 9 nur als Ergebnis rauskommen, wenn x ungerade ist und bei geradem x stets 0 oder 4, also 4 rauskommt. Aber jetzt weiß ich leider nicht, wie ich zeigen kann, dass x gerade sein muss.

Hoffe es kann mir jemand helfen. Danke

Comments

Fehlt da irgendeine Information?  oder woher kommt die 12?

Gruß lul

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Mal angenommen, die Hirten verkaufen 4 Schafe zu 4€ und bekommen dafür 16€. Anschließend kaufen sie für 12€ ein Huhn (1 ist ungerade!) und für die restlichen 4€ eine Gans.

Ein Hirte bekommt das Huhn für 12€ und gibt seine 4€ teure Mundharmonika an den anderen, der nun die Gans (für 4€) und die Mundharmonika für 4€ behält. Somit haben beide 'Wertsachen' im Wert von insgesamt 8€.

Ich glaube nicht, dass dies die Lösung ist. Da fehlt noch was in der Aufgabenbestellung - oder? Darf ein Hun auch 7€ kosten? Ist der Wert der Mundharmonika ein ganzzahliger Betrag?

BTW.: das eine Gans weniger kosten soll als ein Huhn kommt auch nur bei solchen Mathe-Rätseln vor ;-)

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Oh man hab vergessen, dass die Hühner jeweils 12 Euro kosten... Sorry

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hab vergessen, dass die Hühner jeweils 12 Euro kosten

das reicht aber noch nicht!

Du hast ja selbst schon fest gestellt, dass ein Huhn soviel kostet wie eine Gans und zwei mal der Wert einer Mundharmonika. Und der Preis der Gans muss der ganzzahlige Rest bei der Division durch 12 einer Quadratzahl sein. Schließt man die 0 aus bleiben 1, 4 und 9 und damit der Preis einer Mundharmonika \(m=(12-g)/2\) von 5,50€, 4,-€ und 1,50€.

Also fehlt noch eine Angabe! z.Beispiel: kostet eine Gans mehr als ein halbes Huhn oder muss der Preis der Mundharmonika ganzzahlig sein?

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Hallo Werner-Salomon

Also fehlt noch eine Angabe! z.Beispiel: kostet eine Gans mehr als ein halbes Huhn oder muss der Preis der Mundharmonika ganzzahlig sein?

Nein es fehlt keine Angabe mehr. Genau so wurde die Aufgabe gestellt. Ich habe nun auch den Lösungsweg gesehen, aber würde gerne einen alternativen Weg wissen. Der offizielle Weg:
Wie du bereits gesagt hast kann die Mundharmonika entweder 1,5 , 4 oder 5,5 kosten.
Für alle x∈ℤ gilt: \( x^{2} \) (mod 4) ist entweder 0 oder 1
Wenn x gerade ist, also x = 2n dann \( x^{2} \)=4\( n^{2} \) und das Modulo 4 ist 0.
Bei x ungerade also x=2n+1 kommt bei modulo 4 immer 1 raus.
Wenn wir nun die Gleichungen, die gegeben waren ineinander setzen kommt:
\( x^{2} \) = 24s - 2m (wobei Anzahl Hühner ja ungerade also (2s -1) war) 
Wenn wir diese Gleichung nun modulo 4 setzen kommt:
\( x^{2} \) = 2m mod 4
Daraus folgt wie eben gezeigt: 2m = 0 oder 2m = 1 also 2m ∈ {0, 1, 4, 5, 8, 9} (wegen g = 12 - 2m) 
Und wir wissen auch m∈{1.5, 4, 5.5} 
Die einzige Überschneidung ist m=4. Daher kostet die Mundharmonika 4 Euro.
Ich hoffe das war verständlich.

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Ich hoffe das war verständlich.

Nein - warum plötzlich MOD 4?

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Das kam für mich auch aus dem nichts... aber so kann man es wohl lösen. Kannst die Lösung auch bei Google finden wenn du: "Cowboy mundharmonika Lamm mathe" suchst und dann die PDF. Vielleicht ist es dann verständlicher.

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Ich habe die 12 Taler in der Aufgabe ergänzt.

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Das kam für mich auch aus dem nichts.

:-) .. ja nicht ganz, Wenn man sich dies durchliest, wird es klarer. Aus der Bedingung, dass die Anzahl der Hühner ungerade sein muss, folgt, dass nur der Rest \(g=4\) in Frage kommt. Damit ist die Aufgabe tatsächlich eindeutig lösbar.

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Ich habe die 12 Taler in der Aufgabe ergänzt.

und wie ist gerade der Kurs € zu Taler?

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1Entenhausener Taler=1€=x$

Ok, ich habe es in 12 Euro geändert. Obwohl Taler zu solch einer Märchenstunde besser passen.

:-)

Answer 1

Hallo,

ich verstehe das so:

Die Variablen x, h, m und g stehen für die Preise der Tiere bzw der Mundharmonika, x und n sind natürliche Zahlen.

Zwei Hirten treiben ihre x Schafe in die Stadt und verkaufen sie dort für jeweils x Euro.

--> Erlös x*x Euro

Für den Erlös kaufen sie eine ungerade Anzahl an Hühnern.

--> (2n+1)*h+...

Rest ... reicht genau für eine Gans.

--> ...+g

x^2=(2n+1)*h+g → g=x^2-(2n+1)*h

Der Hirte, der beim Teilen die Gans erhält, bekommt vom anderen zum Ausgleich dessen Mundharmonika geschenkt,

n*h+g+m=(n+1)*h-m → g=h-2m

--> x^2-(2n+1)*h=h-2m

--> 2m=(2n+2)*h-x^2

--> m=(n+1)*h-x^2/2

h=12, g+2m=12

g=12-2m

m	1	2	3	4	5
g	10	8	6	4	2

--> m=(n+1)*12-x^2/2

Also muss x eine gerade Zahl sein. x^2 ist dann ein Vielfaches von 4. Damit ist x^2/2 auch gerade und ebenso m.

Es kommen also nur m=2 oder m=4 infrage.

m+x^2/2 muss ein Vielfaches von 12 sein.

4+64/2=3*12

m=4, n=2, x=8, g=4

Ob das eine Lösung ist?

8 Schafe, 64€

5 Hühner, 60€

1 Gans 4€

3 Hühner - Mundharmonika → 36€-4€=32€ ✓

2 Hühner+1 Gans+1Mundh.

 --> 24€+4€+4€=32€ ✓

m=4 ist also richtig.

Nun ist noch zu zeigen, dass m=2 keine Lösung ist.

Ich setze m=2 und hoffe, dass es einen Widerspruch ergibt.

2=(n+1)*12-x^2/2

4=(n+1)*24-x^2

x^2+4=(n+1)*24

x^2=24n+20

Da x gerade ist: x=2y bzw. x^2=4y^2

y^2=6n+5

1^2=1=0*6+1

2^2=4=0*6+4

3^2=9=1*6+3

4^2=16=2*6+4

5^2=25=4*6+1

6^2=36=6*6+0

und von vorne...

Quadratzahlen haben bei Division durch 6 nur die Reste 0;1;3 oder 4, aber nicht 5.

Also ist m=4 die einzige Lösung.

☺

Comments

Schreib- oder Denkfehler in der zweiten Zeile ?

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Schreib- oder Denkfehler in der zweiten Zeile ?

Da muss ich noch einmal nach-denken.

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@hj2166

Meintest du die natürlichen Zahlen?

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H2 hat eine M weniger

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H2 hat eine M weniger

Ach ja! Ich habe es mal berücksichtigt.

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Ich hatte leider die Information, dass die Hühner jeweils 12 Euro kosten in der Aufgabe vergessen...

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Ich hatte leider die Information, dass die Hühner jeweils 12 Euro kosten in der Aufgabe vergessen...

Scherzkeks

☺

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Perfekt. Danke sehr

Answer 2

Zwei Hirten treiben ihre 6 Schafe in die Stadt und verkaufen sie dort für jeweils 6 Euro. Für den Erlös kaufen sie 7 Hühner zu je 5 Euro. Der Rest reicht genau für eine Gans zum Preis von 1 Euro. Der Hirte, der beim Teilen die Gans erhält, bekommt vom anderen zum Ausgleich dessen 2 Euro teure Mundharmonika geschenkt.

Dann hat ein Hirte 4 Hühner im Wert von 20 Euro und keine Mundharmonika im Wert von 2 Euro. Im verbleiben deshalb 18 Euro.

Der andere Hirte hat 3 Hühner im Wert von 15 Euro, eine Gans im Wert von 1 Euro und eine Mundharmonika im Wert von 2 Euro. Im verbleiben deshalb 18 Euro.

Comments

Und wenn es 5 Hühner zu je 7€ sind, kostet die Gans auch 1€. Die Mundharmonika hätte einen Wert von 6€.

3*7€=21€

2*7€+1€+6€=21€

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2*7€+1€ = 15€

Der Unterschied von 6€ wird ausgeglichen indem ein Hirte eine 3€ teuere Mundharmonika abgibt und der andere Hirte eine 3€ teuere Mundharmonika bekommt.

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Ich hatte leider die Information, dass die Hühner jeweils 12 Euro kosten in der Aufgabe vergessen...

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Ziegen 16Taler

Annahmen 256 Taler davon werden 21 Hühner gekauft bleiben 4 für die Gans  , A bekomm 11H im Wert von 132 Taler, der andere  10H+1G also im Wert von 124Taler

Ausgleich beide 128Taler Wert, also ist die Harmonika 4 Taler Wert . natürlich kann man mit 32 Taler pro Ziegen anfangen, dann ist die Harmonika wieder 4

ebenso mit sehr mageren Ziegen für 8 Taler,

die Lösung ist also weiter 4

mit 4 Ziegen allerdings gibts nur 1 Huhn +1 Gans

die Lösung ist aber weiter 4

Gruß lul

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Hey lul,

Das scheint mir plausibel und ich bin auch auf 4 gekommen, jedoch sind das doch nur Beispielwerte und kein Beweis oder versteh ich was falsch? Könntest du mir auch helfen, wie man das beweist?

Gruß

Gauß_fan