Es reicht zu zeigen, dass für beliebige endliche Mengen \(A\) und \(B\) gilt, dass \(|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|\), denn dann folgt die zu beweisende Aussage unmittelbar über die Substitution \(B\rightarrow (B\cup C)\) und entsprechende Mengenumformungen.
Wir dürfen aufgrund der Endlichkeit annehmen, dass \(A=\{a_1,...,a_n\}\) und \(B=\{b_1,...,b_m\}\) mit entsprechenden Mächtigkeiten \(|A|=n\) und \(|B|=m\).
Weiter nehmen wir o.B.d.A. an, dass \(a_1 = b_1, ..., a_k=b_k\) für ein \(k\leq min(n,m)\), also \(A\cap B = \{a_1,...,a_k\}=\{b_1,...,b_k\}\) und insbesondere \(|A\cap B| = k\).
Es folgt \(A\cup B = (A \setminus (A\cap B)) \cup B\) und offenbar sind die Mengen \(A\setminus (A\cap B)\) und \(B\) disjunkt.
Damit gilt \(|A\cup B| = |(A \setminus (A\cap B)) \cup B| = |A \setminus (A\cap B)| + |B|\).
Da \(A\setminus (A\cap B) = \{a_{k+1},...,a_n\}\) folgt offenbar \(|A\setminus (A\cap B)| = n-k = |A| - |A\cap B|\).
Entsprechend folgt schlussendlich \(|A\cup B| = |A| - |A\cap B| + |B| = |A| + |B| - |A\cap B|\).
